四次方程

四次方程，是未知数最高次数不超过四次的多项式方程。一个典型的一元四次方程的通式为：
:ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\, 其中 a\ne0\,

本篇只讨论一元四次方程，并简称为四次方程。

四次方程的解法
数学家们为了解开四次方程——确切地说，找到解开四次方程的方法——做出了许多努力。像其它多项式一样，有时可以对四次方程进行因式分解；但高次幂下的因式分解往往非常困难，尤其是当根是无理数或复数时。因此找到一个公式解（就像二次方程的求根公式那样， 能解所有的一元二次方程）意义重大。经过诸多研究后，数学家们终于找到了四次方程的公式解。不过之后埃瓦里斯特·伽罗瓦证明，求根公式止步于四次方程，更高次幂的方程无法通过固定的公式求出。对于五次及以上的方程，需要一种更为有效的方式来求解。

由于四次方程的复杂性（参见下文），求解公式并不常用。如果只要求求解有理实根，可以使用试错法，该方法对于任意次数的多项式求解都有效。或是使用鲁菲尼法则求出，前提是所给的多项式的系数都是有理的。利用计算机编程，通过牛顿法等數值方法，可以轻易得到任意次方程的實數（數值）解。

特殊情况
名义上的四次方程
如果 e=0 \,，那么其中一个根为 x=0 \,，其它根可以通过消去四次项，并解产生的三次方程,
:ax^3+bx^2+cx+d=0 \,

双二次方程
四次方程式中若 b \ 和 d \ 均為 0 \ 者有下列形态：

:ax^4+cx^2+e=0\,\!

因此它是一個雙二次方程式。解雙二次方程式非常容易，只要設 z=x^2 \, ，我們的方程式便成為：

:az^2+cz+e=0\,\!

這是一個簡單的二次方程式，其根可用二次方程式的求根公式來解：

:z={{-c\pm\sqrt{c^2-4ae}} \over {2a}}\,\!

當我們求得 z 的值以後，便可以從中得到x \, 的值：

:x_1=+\sqrt{z_1}\,\!
:x_2=-\sqrt{z_1}\,\!
:x_3=+\sqrt{z_2}\,\!
:x_4=-\sqrt{z_2}\,\!

若任何一個 z \, 的值為負數或複數，那麼一些 x \, 的值便是複數。

费拉里的方法
开始时，四次方程首先要被转化为低级的四次方程式。

转变成减少次数的四次方程
要让以下四次方程式变成标准的四次方程式，先在等式两边分别除以a \,
: a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0 \qquad\qquad(1')
: x^4 + {b \over a} x^3 + {c \over a} x^2 + {d \over a} x + {e \over a} = 0.

第一步：消除 x^3 \,列。为了做到这一步，先把变量x\,变成u\,，其中
: x = u - {b \over 4 a} .

将变量替换： \left( u - {b \over 4 a} \right)^4 + {b \over a} \left( u - {b \over 4 a} \right)^3 + {c \over a} \left( u - {b \over 4 a} \right)^2 + {d \over a} \left( u - {b \over 4 a} \right) + {e \over a} = 0.

展开后变成： \left( u^4 - {b \over a} u^3 + {6 u^2 b^2 \over 16 a^2} - {4 u b^3 \over 64 a^3} + {b^4 \over 256 a^4} \right)

• {b \over a}

\left( u^3 - {3 u^2 b \over 4 a} + {3 u b^2 \over 16 a^2} - {b^3 \over 64 a^3} \right)

• {c \over a}

\left( u^2 - {u b \over 2 a} + {b^2 \over 16 a^2} \right) + {d \over a} \left( u - {b \over 4 a} \right) + {e \over a} = 0.

整理后变成以u为变量的表达式
: u^4 + \left( {-3 b^2 \over 8 a^2} + {c \over a} \right) u^2 + \left( {b^3 \over 8 a^3} - {b c \over 2 a^2} + {d \over a} \right) u + \left( {-3 b^4 \over 256 a^4} + {b^2c \over 16 a^3} - {bd \over 4 a^2} + {e \over a} \right) = 0.

现在改变表达式的系数，为
: \alpha = {-3 b^2 \over 8 a^2} + {c \over a},
: \beta = {b^3 \over 8 a^3} - {bc \over 2 a^2} + {d \over a},
: \gamma = {-3 b^4 \over 256 a^4} + {b^2c \over 16 a^3} - {bd \over 4 a^2} + {e \over a}.
结果就是我们期望的低级四次方程式，为
: u^4 + \alpha u^2 + \beta u + \gamma = 0 \qquad \qquad (1)

如果 \beta=0\, 那么等式就变成了雙二次方程式，更加容易解决（解释上面）；利用反向替代，我们可以获得我们要解决的变量 x\,的值.

费拉里的解法
这种降低的四次方程的方法是被费拉里发现的，然而，这种方式曾经被发现过。接下来，利用一个恆等式
: (u^2 + \alpha)^2 - u^4 - 2 \alpha u^2 = \alpha^2 \,
从方程 (1)和上式，得出：
: (u^2 + \alpha)^2 + \beta u + \gamma = \alpha u^2 + \alpha^2. \qquad \qquad (2)
结果把 u^4 \,配成了完全平方式： (u^2+\alpha)^2\,。左式中，\alpha u^2\, 并不出现，但其符号已改变并被移到右边。

下一步是在方程\left(2\right)\, 左边的完全平方中插入变量 y \,，相应地在右边插入一项 2y\,。根据恒等式
:
\begin{matrix}
(u^2+\alpha+y)^2-(u^2+\alpha)^2 & = & 2y(u^2+\alpha)+ y^2\ \
\\
& = & 2yu^2+2y\alpha+y^2,
\end{matrix}

及
: 0 = (\alpha + 2 y) u^2 - 2 y u^2 - \alpha u^2 \,两式相加，可得
: (u^2 + \alpha + y)^2 - (u^2 + \alpha)^2 = (\alpha + 2 y) u^2 - \alpha u^2 + 2 y \alpha + y^2 \qquad \qquad（y\,的插入）
与等式(2)相加，得
: (u^2 + \alpha + y)^2 + \beta u + \gamma = (\alpha + 2 y) u^2 + (2 y \alpha + y^2 + \alpha^2) \,
也就是
: (u^2 + \alpha + y)^2 = (\alpha + 2 y) u^2 - \beta u + (y^2 + 2 y \alpha + \alpha^2 - \gamma). \qquad \qquad (3)

现在我们需要寻找一个y\,值，使得方程\left(3\right)\,的右边为完全平方。而这-{只}-要令二次方程的判别式为零。为此，首先展开完全平方式为二次式：
: (s u + t)^2 = (s^2) u^2 + (2 s t) u + (t^2)\,
右边的二次式有三个系数。可以验证，把第二项系数平方，再减去第一与第三项系数之积的四倍，可得到零：
: (2 s t)^2 - 4 (s^2) (t^2) = 0 \,

因此，为了使方程(3)的右边为完全平方，我们必须解出下列方程：
: (-\beta)^2 - 4 (2 y + \alpha) (y^2 + 2 y \alpha + \alpha^2 - \gamma) = 0 \,
把二项式与多项式相乘，
: \beta^2 - 4 [2 y^3 + 5 \alpha y^2 + (4 \alpha^2 - 2 \gamma) y + (\alpha^3 - \alpha \gamma)] = 0 \,两边除以4\,，再把-\frac{\beta^2}{4}\,移动到右边，
: 2 y^3

• 5 \alpha y^2
• ( 4 \alpha^2 - 2 \gamma ) y
• \left( \alpha^3 - \alpha \gamma - {\beta^2 \over 4} \right)

= 0 \qquad \qquad
这是关于y\,的三次方程。两边除以2\,，
: y^3 + {5 \over 2} \alpha y^2 + (2 \alpha^2 - \gamma) y + \left( {\alpha^3 \over 2} - {\alpha \gamma \over 2} - {\beta^2 \over 8} \right) = 0. \qquad \qquad (4)

转化嵌套的三次方程为降低次数的三次方程
方程\left(4\right)\,是嵌套的三次方程。为了解方程\left(4\right)\,，我们首先用换元法把它转化为减少次数的三次方程：
: y = v - {5 \over 6} \alpha.
方程\left(4\right)\,变为
: \left( v - {5 \over 6} \alpha \right)^3 + {5 \over 2} \alpha \left( v - {5 \over 6} \alpha \right)^2 + (2 \alpha^2 - \gamma) \left( v - {5 \over 6} \alpha \right) + \left( {\alpha^3 \over 2} - {\alpha \gamma \over 2} - {\beta^2 \over 8} \right) = 0.
展开，得
: \left( v^3 - {5 \over 2} \alpha v^2 + {25 \over 12} \alpha^2 v - {125 \over 216} \alpha^3 \right) + {5 \over 2} \alpha \left( v^2 - {5 \over 3} \alpha v + {25 \over 36} \alpha^2 \right) + (2 \alpha^2 - \gamma) v - {5 \over 6} \alpha (2 \alpha^2 - \gamma ) + \left( {\alpha^3 \over 2} - {\alpha \gamma \over 2} - {\beta^2 \over 8} \right) = 0.
合并同类项，得
: v^3 + \left( - {\alpha^2 \over 12} - \gamma \right) v + \left( - {\alpha^3 \over 108} + {\alpha \gamma \over 3} - {\beta^2 \over 8} \right) = 0.
这是嵌套的三次方程。

记
: P = - {\alpha^2 \over 12} - \gamma,
: Q = - {\alpha^3 \over 108} + {\alpha \gamma \over 3} - {\beta^2 \over 8}.
则此三次方程变为
: v^3 + P v + Q = 0. \qquad \qquad (5)

解嵌套的降低次数的三次方程
方程\left(5\right)\,的解(三个解中任何一个都可以)为

:::令 U=\sqrt[3]{{-Q\over 2}\pm \sqrt{{Q^{2}\over 4}+{P^{3}\over 27}}}
::::（由三次方程）
:v = U-{P\over 3U}
则原来的嵌套三次方程的解为
:y = - {5 \over 6} \alpha - {P\over 3U} + U \qquad \qquad (6)

::注意 \left(1\right)\,： P=0 \Longrightarrow {Q\over 2} + \sqrt{{Q^{2}\over 4}+{P^{3}\over 27}}=0
::注意 \left(2\right)\,： \lim_{P\to 0}{P \over \sqrt[3]{{Q\over 2} + \sqrt{{Q^{2}\over 4}+{P^{3}\over 27}}}}=0

配成完全平方项
y\,的值已由\left(6\right)\,式给定，现在知道等式\left(3\right)\,的右边是完全平方的形式
:s^2 u^2+2stu+t^2 = \left(\sqrt{s^2}u + {2st \over 2\sqrt{s^2}}\right)^2
::这对于平方根的正负号均成立，只要等式两边取相同的符号。A\,的正负是多余的，因为它将被本页后面马上将提到的另一个\pm a\,消去。
从而它可分解因式为：
: (\alpha + 2 y) u^2 + (- \beta) u + (y^2 + 2 y \alpha + \alpha^2 - \gamma ) = \left[ \sqrt{\alpha + 2y}u + {(-\beta) \over 2\sqrt{\alpha + 2 y}} \right]^2.
::注：若 \beta \ne0 \, 则 \alpha+ 2y \ne 0 \,。如果 \beta= 0 \,则方程为双二次方程，前面已讨论过。
因此方程\left(3\right)\,化为
:(u^2 + \alpha + y)^2 = \left(\sqrt{\alpha + 2 y}u - {\beta \over 2\sqrt{\alpha + 2 y}} \right)^2 \qquad\qquad (7).
等式\left(7\right)\,两边各有一个乘起来的完全平方式。两完全平方式相等。

如果两平方式相等，则两平方式的因子也相等，即有下式：
:(u^2 + \alpha + y) = \pm\left(\sqrt{\alpha + 2 y}u - {\beta \over 2\sqrt{\alpha + 2 y}} \right) \qquad\qquad (7').
对 u\,合并同类项，得
:u^2 + \left(\mp_s \sqrt{\alpha + 2 y}\right)u + \left( \alpha + y \pm_s {\beta \over 2\sqrt{\alpha + 2 y}} \right) = 0 \qquad\qquad (8).
::注：\pm_s 及 \mp_s 中的下标 s\, 用来标记它们是相关的。
方程\left(8\right)\,是关于u\,的二次方程。其解为
:u={\pm_s\sqrt{\alpha + 2 y} \pm_t \sqrt{(\alpha + 2y) - 4(\alpha + y \pm_s {\beta \over 2\sqrt{\alpha + 2 y}})} \over 2}.
化简，得
:u={\pm_s\sqrt{\alpha + 2 y} \pm_t \sqrt{-\left(3\alpha + 2y \pm_s {2\beta \over \sqrt{\alpha + 2 y}} \right)} \over 2}.
这就是降低次数的四次方程的解，因此原来的四次方程的解为
:x=-{b \over 4a} + {\pm_s\sqrt{\alpha + 2 y} \pm_t \sqrt{-\left(3\alpha + 2y \pm_s {2\beta \over \sqrt{\alpha + 2 y}} \right)} \over 2}. \qquad\qquad (8')
::注意：两个 \pm_s 来自等式\left(7^'\right)\,的同一处，并且它们应有相同的符号，而 \pm_t 的符号是无关的。

费拉里方法的概要
给定一个四次方程
: a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0\,
其解可用如下方法求出：
: \alpha = - {3 b^2 \over 8 a^2} + {c \over a},
: \beta = {b^3 \over 8 a^3} - {bc \over 2 a^2} + {d \over a},
: \gamma = {-3 b^4 \over 256 a^4} + {b^2c \over 16 a^3} - {bd \over 4 a^2} + {e \over a},
::若 \beta=0\,，求解 u^4+\alpha u^2 + \gamma = 0\, 并代入 x=u-{b\over 4a}，求得根
:::x=-{b\over 4a}\pm_s\sqrt{-\alpha\pm_t\sqrt{\alpha^2-4\gamma}\over 2},\qquad\beta=0.
: P = - {\alpha^2 \over 12} - \gamma,
: Q = - {\alpha^3 \over 108} + {\alpha \gamma \over 3} - {\beta^2 \over 8},
: R = -{Q\over 2} \pm \sqrt{{Q^{2}\over 4}+{P^{3}\over 27}}, （平方根任一正负号均可）
: U = \sqrt[3]{R}, （有三个复根，任一个均可）
: y ={\displaystyle -{5 \over 6}\alpha +{\begin{cases}U=0&\to -{\sqrt[{3}]{Q}}\\U\neq 0,&\to U-{P \over 3U},\end{cases}}\quad \quad \quad },
: x = - {b \over 4 a} + { \pm_s \sqrt{ \alpha + 2 y} \pm_t \sqrt{-\left(3\alpha + 2 y \pm_s {2\beta\over\sqrt{\alpha +2y}} \right) }\over 2 }.
::两个\pm _s\, 必须有相同的符号,\pm _t\, 的符号无关。为得到全部的根，对\pm _s\,，\pm _t\, ,= , +\,,+ \,及 +-\, 及 -+\, 及 - -\, 来求 x\,。二重根将得出两次，三重根及四重根将得出四次（尽管有 \beta = 0\,，是一种特殊的情况）。方程根的次序取决于立方根U\, 的选取。（见对\left(8\right)\,相对\left(8^'\right)\,的注）

此即所求。

还有解四次方程的其他方法，或许更好些。费拉里首先发现这些迷宫般的解之一。他所解的方程是
: x^4 + 6 x^2 - 60 x + 36 = 0 \, ，
它已经化为简约的形式。它有一对解，可由上面给出的公式得到。

笛卡兒方法
: (x - x_1) (x - x_2) (x - x_3) (x - x_4) = 0 \,
此四次方程是下列两个二次方程之积：
: (x - x_1) (x - x_2) = 0 \qquad \qquad (9)
以及
: (x - x_3) (x - x_4) = 0. \qquad \qquad (10)
由于
: x_2 = x_1^\star
因此
:
\begin{matrix}
(x-x_1)(x-x_2)&=&x^2-(x_1+x_1^\star)x+x_1x_1^\star\qquad\qquad\qquad\quad
\\
&=&x^2-2\,\mathrm{Re}(x_1)x+[\mathrm{Re}(x_1)]^2+[\mathrm{Im}(x_1)]^2.
\end{matrix}

设
: a = - 2 \, \mathrm{Re}(x_1),
: b = [ \mathrm{Re}( x_1) ]^2 + [ \mathrm{Im}(x_1) ]^2 \,
则方程\left(9\right)\,
变为
: x^2 + a x + b = 0. \qquad \qquad (11)
同时有(未知的)变量
w\,和v\,使方程\left(10\right)\,
变为
: x^2 + w x + v = 0. \qquad \qquad (12)
方程\left(11\right)\,与\left(12\right)\,
相乘，得
: x^4 + (a + w) x^3 + (b + w a + v) x^2 + (w b + v a) x + v b = 0. \qquad \qquad (13)
把方程\left(13\right)\,
与原来的二次方程比较，可知
: a + w = {B \over A},
: b + w a + v = {C \over A},
: w b + v a = {D \over A},
及
: v b = {E \over A}.
因此
: w = {B \over A} - a = {B \over A} + 2 \mathrm{Re}(x_1),
: v = {E \over A b} = {E \over A \left(
[ \mathrm{Re}(x_1) ]^2 + [ \mathrm{Im}(x_1) ]^2 \right) }.
方程\left(12\right)\,的解为
: x_3 = {-w + \sqrt{w^2 - 4 v} \over 2},
: x_4 = {-w - \sqrt{w^2 - 4 v} \over 2}.
这两个解中的一个应是所求的实解。

歐拉的方法
寫出式子 x^4 + a x^3 + b x^2 + c x + d = 0 ，令 y=x+a/4,
把上式改寫為 y^4 + e y^2 + f y + g = 0 ,
再利用係數 e,f,g 造出另一式子: z^3+(e/2)z^2+((e^2-4g)/16)z-f^2/64=0 , 求出 z 的三根，並用 p,q,r 代表它們。
那麼 y 的四個根就是
+\sqrt{p}+\sqrt{q}+\sqrt{r}
+\sqrt{p}-\sqrt{q}-\sqrt{r}
-\sqrt{p}+\sqrt{q}-\sqrt{r}
-\sqrt{p}-\sqrt{q}+\sqrt{r}

合併來看
二次方程根的樣式為 j\sqrt{A} ,其中 j\in \{h^0, h^1\} , \ h^2=1

三次方程根的樣式為 j_1\sqrt[3]{A}+j_2\sqrt[3]{B} ,其中 j\in \{h^0, h^1, h^2\} , \ h^3=1

四次方程根的樣式為 j_1\sqrt[4]{A}+j_2\sqrt[4]{B}+j_3\sqrt[4]{C} ,其中 j\in \{h^0, h^1, h^2, h^3\} , h^4=1
延伸這樣式，暗示了五次方程尋根的方向。

其它方法
化为双二次方程
一个例子可见双二次方程。

埃瓦里斯特·伽罗瓦的理论和因式分解
求根公式
四次方程的求根公式可以通过上述的伽罗瓦理论和因式分解得到。对于{ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,a\ne0}，有：

:{x_{1}=-\frac{b}{4a}+\frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{2c}{3a}+\frac{\sqrt[3]{2}(c^2-3bd+12ae)}{3a\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace)^2-4(c^2-3bd+12ae)^3}}}+\frac{\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace)^2-4(c^2-3bd+12ae)^3}}}{3\sqrt[3]{2}a}}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b^2}{2a^2}-\frac{4c}{3a}-\frac{\sqrt[3]{2}(c^2-3bd+12ae)}{3a\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace)^2-4(c^2-3bd+12ae)^3}}}-\frac{\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace)^2-4(c^2-3bd+12ae)^3}}}{3\sqrt[3]{2}a}+\frac{-b^3+4abc-8a^2d}{4a^3\sqrt{\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{2c}{3a}+\dfrac{\sqrt[3]{2}(c^2-3bd+12ae)}{3a\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace)^2-4(c^2-3bd+12ae)^3}}}+\dfrac{\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace)^2-4(c^2-3bd+12ae)^3}}}{3\sqrt[3]{2}a}}}}}

:{x_{2}=-\frac{b}{4a}+\frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{2c}{3a}+\frac{\sqrt[3]{2}(c^2-3bd+12ae)}{3a\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace)^2-4(c^2-3bd+12ae)^3}}}+\frac{\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace)^2-4(c^2-3bd+12ae)^3}}}{3\sqrt[3]{2}a}}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b^2}{2a^2}-\frac{4c}{3a}-\frac{\sqrt[3]{2}(c^2-3bd+12ae)}{3a\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace)^2-4(c^2-3bd+12ae)^3}}}-\frac{\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace)^2-4(c^2-3bd+12ae)^3}}}{3\sqrt[3]{2}a}-\frac{b^3-4abc+8a^2d}{4a^3\sqrt{\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{2c}{3a}+\dfrac{\sqrt[3]{2}(c^2-3bd+12ae)}{3a\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace)^2-4(c^2-3bd+12ae)^3}}}+\dfrac{\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace)^2-4(c^2-3bd+12ae)^3}}}{3\sqrt[3]{2}a}}}}}

:{x_{3}=-\frac{b}{4a}-\frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{2c}{3a}+\frac{\sqrt[3]{2}(c^2-3bd+12ae)}{3a\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace)^2-4(c^2-3bd+12ae)^3}}}+\frac{\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace)^2-4(c^2-3bd+12ae)^3}}}{3\sqrt[3]{2}a}}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b^2}{2a^2}-\frac{4c}{3a}-\frac{\sqrt[3]{2}(c^2-3bd+12ae)}{3a\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace)^2-4(c^2-3bd+12ae)^3}}}-\frac{\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace)^2-4(c^2-3bd+12ae)^3}}}{3\sqrt[3]{2}a}+\frac{b^3-4abc+8a^2d}{4a^3\sqrt{\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{2c}{3a}+\dfrac{\sqrt[3]{2}(c^2-3bd+12ae)}{3a\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace)^2-4(c^2-3bd+12ae)^3}}}+\dfrac{\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace)^2-4(c^2-3bd+12ae)^3}}}{3\sqrt[3]{2}a}}}}}

:{x_{4}=-\frac{b}{4a}-\frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{2c}{3a}+\frac{\sqrt[3]{2}(c^2-3bd+12ae)}{3a\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace)^2-4(c^2-3bd+12ae)^3}}}+\frac{\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace)^2-4(c^2-3bd+12ae)^3}}}{3\sqrt[3]{2}a}}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b^2}{2a^2}-\frac{4c}{3a}-\frac{\sqrt[3]{2}(c^2-3bd+12ae)}{3a\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace)^2-4(c^2-3bd+12ae)^3}}}-\frac{\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace)^2-4(c^2-3bd+12ae)^3}}}{3\sqrt[3]{2}a}+\frac{b^3-4abc+8a^2d}{4a^3\sqrt{\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{2c}{3a}+\dfrac{\sqrt[3]{2}(c^2-3bd+12ae)}{3a\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace)^2-4(c^2-3bd+12ae)^3}}}+\dfrac{\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace)^2-4(c^2-3bd+12ae)^3}}}{3\sqrt[3]{2}a}}}}}

:{\Delta=256a^3e^3-192a^2bde^2-128a^2c^2e^2+144a^2cd^2e-27a^2d^4+144ab^2ce^2-6ab^2d^2e-80abc^2de+18abcd^3+16ac^4e-4ac^3d^2-27b^4e^2+18b^3cde-4b^3d^3-4b^2c^3e+b^2c^2d^2}

:若 \Delta>0，方程有四个不同的实根，或两个实根和一对复共轭根。
:若 \Delta=0，方程至少有一个重根。
:若 \Delta，方程有两对复共轭根。

PlanetMath指出，这四个形式直接使用，即使是在计算机上也过于复杂。这四个解的推导过程的最后几步有较为简单的中间形式可以采用。得到这些解需要用到三次方程的求根公式。

參見

• 费拉里
• 卡尔达诺

文獻

• [http://members.tripod.com/l_ferrari/quartic_equation.htm Ferrari's achievement]
• [http://planetmath.org/encyclopedia/QuarticFormula.html 四次方程的求根公式]