因式分解 (英語: factorization)，此處特指多項式因式分解（），是代數學中的一種運算，指將一個多項式表示為兩個或多個較低次多項式的乘積。其目的通常是將原本較複雜的多項式轉化為較簡單的形式，以利於求根、化簡或進一步分析。

例如：

单元多項式x^2 - 1^2可被因式分解為\left( x+1 \right) \left( x-1 \right)。

又如二元多項式x^2 - y^2因式分解為\left( x+y \right) \left( x-y \right)。

如果將係數域由整數擴張至複數域，則，

x^2 + 1^2可被因式分解為\left( x+i \right) \left( x-i \right)。

通常，多項式因式分解最終會寫為若干不可约多项式（）的乘積。

定义
数域P上每个高于一次的多项式f(x)都可以分解为该数域P上的多个不可约多项式p_i(x)的乘积，为因式分解。

在复数域上，每个不可约多项式都是一次的，因此高于一次的复系数多项式，都可以唯一地分解为多个一次式之积。

在实数域上，不可约的多项式都是一次或二次的，因此高于一次的实系数多项式，都可以唯一地分解为一次、二次多项式之积。

在有理数域上，不可约多项式可以有任何次。例如，在有理数范围内，当n为正整数时，关于x的多项式x^n + 2无法再分解。

因式分解定理
数域F上每个次数\ge 1的多项式f(x)都可以分解成数域F上一些不可约多项式的乘积，并是唯一的，即如果有两个分解式

f(x)=p_1(x)p_2(x)p_3(x) \cdots p_s(x)=q_1(x)q_2(x) \cdots q_t(x)

其中p_i(x)(i=1,2,\cdots,s)和q_j(x)(j=1,2,\cdots,t)都是数域F上的不可约多项式，那么必有s=t，而且可以适当排列因式的次序，使得

p_i(x)=c_iq_i(x)(i=1,2,\cdots,s),其中c_i(i=1,2,\cdots,s)是一些非零常数

分解方法
公因式分解(抽)
原则：

分解必須要彻底（即分解後之因式均不能再做分解）

結果最後只留下小括號

結果的多項式首項為正。

在一個公式內把其公因子抽出，例子：
*7a+98ab
**其中，7a是公因子。因此，因式分解後得到的答案是：7a(1+14b)
*51a^4b^7+24a^3b^2+75a^5b^5
**其中，3a^3b^2是公因子。因此，因式分解後得到的答案是：3a^3b^2(17ab^5+25a^2b^3+8)

公式法
兩個立方數之和
a^3 + b^3 = (a +b)(a^2 - ab + b^2)

兩個立方數之差
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

兩個n次方數之差
a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^{2}...... ab^{n-1}+ b^{n-1})

兩個奇數次方數之和
a^n + b^n = (a + b) (a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^{2}...... ab^{n-1}+ b^{n-1})

分组分解法
透過公式重組，然後再抽出公因數，例子：

\begin{align}
&3a^2b-5y+12a^3b^2-20aby\\
=& (3a^2b+12a^3b^2)-(5y+20aby)\\
=& 3a^2b(1+4ab)-5y(1+4ab)\\
=& (1+4ab)(3a^2b-5y)
\end{align}

\begin{align}
&15n^2+2m-3n-10mn \\
=&(15n^2-3n)+(2m-10mn) \\
=&3n(5n-1)+2m(1-5n) \\
=&3n(5n-1)-2m(5n-1)
=&(5n-1)(3n-2m)
\end{align}

拆添项法
透過添項然後減掉，然後再抽出公因數，例子：

\begin{align}
&x^4+x^2+1 \\
=&x^4+x^2+x^2-x^2+1 \\
=&x^4+2x^2-x^2+1 \\
=&x^4+2x^2+1-x^2 \\
=&\left(x^2+1\right)^2-x^2 \\
=&\left(x^2+1-x\right)\left(x^2+1+x\right) \\
=&\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)\end{align}

或者透過分裂某項，然後再抽出公因數，例子：

x^3-7x+6

其中，-7x可以被拆成-x和-6x。所以，x^3-7x+6可以被寫成x^3-x-6x+6。因此，

\begin{align}
&x^3-7x+6 \\
=&x^3-x-6x+6 \\
=&\left(x^3-x\right)-\left(6x-6\right) \\
=&x\left(x^2-1\right)-6\left(x-1\right) \\
=&x\left(x+1\right)\left(x-1\right)-6\left(x-1\right) \\
=&\left[x\left(x+1\right)-6\right]\left(x-1\right) \\
=&\left(x^2+x-6\right)\left(x-1\right)
\end{align}

其中，+x可以被拆成+3x和-2x。所以，x^2+x-6可以被寫成x^2+3x-2x-6。因此，

\begin{align}
&\left(x^2+x-6\right)\left(x-1\right) \\
=&\left(x^2+3x-2x-6\right)\left(x-1\right) \\
=&\left[\left(x^2+3x\right)-\left(2x+6\right)\right]\left(x-1\right) \\
=&\left(x\left(x+3\right)-2\left(x+3\right)\right)\left(x-1\right) \\
=&\left(x-2\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right) \\
=&\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x+3\right)
\end{align}

十字交乘法
十字交乘法（cross method），也叫做十字相乘法。它实際上是拆添項法的一個變形，只不過用十字形矩陣來表示。

一次因式檢驗法
一個整係數的一元多項式a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ...... a_1 x + a_0，假如它有整係數因式p x + q，且p,q互質，則以下兩條必成立：（逆敘述並不真）
*p | a_n
*q | a_0

不過反過來說，即使當p | a_n和q | a_0都成立時，整係數多項式p x + q也不一定是整係數多項式a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ...... a_1 x + a_0的因式

另外一個看法是：

一個整係數的ｎ次多項式a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ...... a_1 x + a_0，若p x - q是f(x)之因式，且p,q互質，則：（逆敘述並不真）
*p - q | f(1)
*p + q | f(-1)

参见

• 因数分解
• 高斯整數分解
• 多項式
• 根
• 十字相乘
• 乘法公式

注释
延伸閱讀
*Burnside, William Snow; Panton, Arthur William (1960) [1912], The Theory of Equations with an introduction to the theory of binary algebraic forms (Volume one), Dover
*Dickson, Leonard Eugene (1922), First Course in the Theory of Equations, New York: John Wiley & Sons
*Fite, William Benjamin (1921), College Algebra (Revised), Boston: D. C. Heath & Co.
*Klein, Felix (1925), Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint; Arithmetic, Algebra, Analysis, Dover
*Selby, Samuel M., CRC Standard Mathematical Tables (18th ed.), The Chemical Rubber Co