二次方程是一种整式方程，主要特点是未知项的最高次数是2，其中最常见的是一元二次方程。
一元二次方程
方程的一般形式
一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，它的一般形式为：ax^2+bx+c=0\,，其中 a\ne 0。ax^2\,为方程的二次项，a\,为方程的二次项系数；bx\,为一次项，b\,为一次项系数；c\,为常数项。若a=0\,，则该方程没有二次项，即退变为一元一次方程。
求根公式
一元二次方程根的判别式為 \Delta=b^2-4ac\,。
若\Delta>0\,，則該方程有两個不相等的實数根：
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\,；
若\Delta=0\,，則該方程有两個相等的實数根：
x_{1,2} = -\frac{b}{2a}\,；
若\Delta，則該方程有一對共軛複數根：
x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\,。
由上可知，在實數範圍內求解一元二次方程，當\Delta\geq0\,時，方程有根（有兩個不等實數根或兩個相等實數根）；當\Delta時，方程有两个复数根，但是在实数范围无解。
根与系数的关系
设x_1\,，x_2\,是一元二次方程 ax^2+bx+c=0\, （a\ne0\, ）的两根，则
两根之和：x_1+x_2=-\frac{b}{a}
两根之积：x_1x_2=\frac{c}{a}
求根公式的由来
中亚细亚的花拉子米 (约780-约850) 在公元820年左右出版了《代数学》。书中给出了一元二次方程的求根公式，并把方程的未知数叫做「根」，其后译成拉丁文radix。
我们通常把 x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} 称之为 ax^2+bx+c=0\, 的求根公式：
\begin{align}
ax^2+bx+c&=0 \\
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}&=0 \\
x^2+\frac{b}{a}x+\left (\frac{b}{2a} \right )^2-\left (\frac{b}{2a} \right )^2+\frac{c}{a}&=0 \\
\left (x+\frac{b}{2a} \right )^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}&=0 \\
\left (x+\frac{b}{2a} \right )^2&=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a} \\
\left (x+\frac{b}{2a} \right )^2&=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \\
x+\frac{b}{2a}&=\frac{\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\
x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{align}
或不將x^2係數化為1：
\begin{align}
ax^2+bx+c&=0 \\
ax^2+bx+ \left (\frac{b}{2\sqrt{a}} \right)^2&=\left (\frac{b}{2\sqrt{a}} \right)^2 - c \\
\left (x\sqrt{a}+\frac{b}{2\sqrt{a}} \right)^2&=\left (\frac{b}{2\sqrt{a}} \right)^2 - c \\
x\sqrt{a}+\frac{b}{2\sqrt{a}}&=\pm\sqrt{\left (\frac{b}{2\sqrt{a}} \right)^2 - c} \\
x\sqrt{a}+\frac{b}{2\sqrt{a}}&=\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a} - c} \\
x+\frac{b}{2a}&=\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}} \\
x+\frac{b}{2a}&=\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2}} \\
x&=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \\
x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{align}
对应函数的极值
设 y=ax^2+bx+c\,（a \ne 0\,），
对x\,求导，得
:\frac{\mathop{\mbox{d}}y}{\mathop{\mbox{d}}x} = 2ax+b
令 \frac{\mathop{\mbox{d}}y}{\mathop{\mbox{d}}x}=0，得
:
\begin{align}x&=-\frac{b}{2a}
\end{align}
即为 y\,的极值点，该式亦为函数图形（即抛物线）的对称轴方程。
将 x=-\frac{b}{2a} 代入 y\,，可得
:
\begin{align}
y&=-\frac{b^2-4ac}{4a}
\end{align}
即为 y\, 的极值。
根据函数取极值的充分条件，即：
f*(x)，x\,是f(x)\, 的极大值点，
f*(x)>0\,，x\,是f(x)\, 的极小值点；
由\frac{\mathop{\mbox{d}}^2y}{\mathop{\mbox{d}}x^2}=2a，可知：
当a时（抛物线开口向下），x=-\frac{b}{2a}为y\,的极大值点；
当a>0\,时（抛物线开口向上），x=-\frac{b}{2a}为y\,的极小值点。
參見
*一次方程
*抛物綫
*配方法
*圆锥曲线
参考
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