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三次方程

Wikipedia · 2026-07-10 维基百科 👁 1 阅读

三次方程是未知项總次数最高为3的整式方程，一元三次方程一般形式為
:ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，
其中a, b, c, d (a\neq 0)是屬於一個域的數字，通常這個域為ℝ或ℂ。

本條目只解釋一元三次方程，而且簡稱之為三次方程式。

历史
中國唐朝数学家王孝通在武德九年（626年）前后所著的《緝古算經》中建立了25个三次多项式方程和提出三次方程实根的数值解法。

波斯数学家欧玛尔·海亚姆（1048年－1123年）通过用圆锥截面与圆相交的方法構建了三次方程的解法。他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案。

中国南宋的数学家秦九韶在他1247年编写的《数书九章》一书中提出了高次方程的数值解法秦九韶算法，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则。

在十六世纪早期，意大利数学家费罗找到了能解一种三次方程的方法，也就是形如x^3 +mx= n的方程。事实上，如果我们允许m, n是複数，所有的三次方程都能变成这种形式，但在那个时候人们不知道複数。

尼科洛·塔爾塔利亞被認為是最早得出三次方程式一般解的人。1553年他在一場數學競賽中解出所有三次方程式的問題。隨後卡尔丹诺拜訪了塔爾塔利亞請教三次方程式解法並得到了啟發。卡尔丹诺注意到塔爾塔利亞的方法有时需要他给复数开平方。他甚至在《数学大典》裡包括了这些複數的计算，但他并不真正理解它。拉斐尔·邦贝利（Rafael Bombelli）详细地研究了这个问题，并因此被人们认为是複数的发现者。

判别式
当\Delta>0时，方程有一个实根和两个共轭複根；

当\Delta=0时，方程有三个实根：当
\left(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}\right)^2=-\left(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}\right)^3=0

时，方程有一个三重实根；

当\left(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}\right)^2=-\left(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}\right)^3\ne 0
时，方程的三个实根中有两个相等；

当\Delta时，方程有三个不等的实根。

三次方程解法
求根公式法
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0,a\ne0

x_1=-\frac{b}{3 a}+ \sqrt[3]{\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}+\sqrt{{\color{red}\left(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}\right)^2+ \left(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}\right)^3}}}+\sqrt[3]{\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}-\sqrt{\left(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}\right)^2+ \left(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}\right)^3}}

x_2=-\frac{b}{3 a}+\frac{-1+ \sqrt{3}\,\rm}{2} \sqrt[3]{\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a} +\sqrt{\left(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}\right)^2+ \left(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}\right)^3}}+\frac{-1- \sqrt{3}\,\rm}{2} \sqrt[3]{\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a} -\sqrt{\left(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}\right)^2+ \left(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}\right)^3}}

x_3=-\frac{b}{3 a}+\frac{-1- \sqrt{3}\,\rm}{2} \sqrt[3]{\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a} +\sqrt{\left(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}\right)^2+ \left(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}\right)^3}}+\frac{-1+ \sqrt{3}\,\rm}{2} \sqrt[3]{\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a} -\sqrt{\left(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}\right)^2+ \left(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}\right)^3}}

红色字体部分为判别式\Delta。

当\Delta>0时，方程有一个实根和两个共轭複根；

当\Delta=0时，方程有三个实根：

当\left(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}\right)^2=-\left(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}\right)^3=0时，方程有一个三重实根；

当\left(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}\right)^2=-\left(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}\right)^3\ne 0时，方程的三个实根中有两个相等；

当\Delta时，方程有三个不等的实根。

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0,a\ne0

x=-{{b}\over{3a} }+
{{\sqrt [3]{2} \left(b^2-3ac\right)}\over{3a\left({{-1+\sqrt3i}\over{2}}\right)^k}\sqrt[3]{9abc-27a^2d-2b^3+\sqrt{\left(9abc-27a^2d-2b^3\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}} }
+{{\left({{-1+\sqrt3i}\over{2}}\right)^k}\sqrt[3]{9abc-27a^2d-2b^3+\sqrt{\left(9abc-27a^2d-2b^3\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}}\over{3\sqrt[3]{2}a} }
,k=0,1,2

三角函数解
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a\ne0。

若令\Delta=\left(\frac{-b^3}{27a^3 }-\frac{d}{2a}+\frac{bc}{6a^2}\right)^2+ \left(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}\right)^3=\alpha^2+\beta^3，则

x_1=-\frac{b}{3 a}+2 \sqrt{-\beta}\cos \left[ \frac{\arccos \frac {\alpha} {(-\beta)^{\frac{3}{2}}}}{3} \right]

x_2=-\frac{b}{3 a}+2 \sqrt{-\beta}\cos \left[ \frac{\arccos \frac {\alpha} {(-\beta)^{\frac{3}{2}}} +2\pi}{3} \right]

x_3=-\frac{b}{3 a}+2 \sqrt{-\beta}\cos \left[ \frac{\arccos \frac {\alpha} {(-\beta)^{\frac{3}{2}}} -2\pi}{3} \right]

卡尔达诺法
令K為域，可以進行開平方或立方運算。要解方程只需找到一個根r，然後把方程ax^3 + bx^2 + cx +d除以x - r，就得到一個二次方程，而我們已會解二次方程。

在一個代數封閉域，所有三次方程都有三個根。複數域就是這樣一個域，這是代數基本定理的結果。

解方程步驟：
*把原來方程除以首項係數a \left(a \neq 0 \right)，得到：
::x^3 + b'x^2 + c'x + d' = 0，其中b' = \frac {b} {a}，c' = \frac {c} {a}，d' = \frac {d} {a}。

*代換未知項x = z - \frac {b'} {3}，以消去二次項。當展開\left ( z - \frac {b'} {3} \right )^3，會得到-b'z^2這項，正好抵消掉出現於b' \left ( z - \frac {b'} {3} \right )^2的項b'z^2。故得：
::z^3 + pz + q = 0，其中p和q是域中的數字。
::p = c' - \frac {b'^2} {3}；q = \frac {2b'^3} {27} - \frac {b'c'} {3} + d'。

*設u,v滿足3uv=-p,u^3+v^3=-q,則u+v為解
:這個假設的hint如下:
::記z = u + \upsilon。前一方程化為(u + \upsilon)^3 + p(u + \upsilon) + q = 0。
::展開：u^3 + 3u^2\upsilon + 3u\upsilon^2 + \upsilon^3 + pu + p\upsilon + q = 0。
::重組：(u^3 + \upsilon^3 + q) + (3u\upsilon^2 + 3u^2\upsilon + pu + p\upsilon) = 0。
::分解：(u^3 + \upsilon^3 + q) + (u + \upsilon)(3u\upsilon + p) = (u^3 + \upsilon^3 + q) + z(3u\upsilon + p) = 0。

*設U = u^3和V = \upsilon^3。我們有U + V = - q和UV = -\frac {p^3} {27}因為UV = (u\upsilon)^3 = (-\frac {p} {3})^3。所以U和V是任何方程Y^2 + q Y - \frac {p^3} {27}=0的根(韋達定理)，可代一般二次方程公式得解。

接下來，u和v是U和V的立方根，適合uv = -\frac {p} {3}，z = u + v，最後得出x = z - \frac {b'} {3}。

在域\mathbb{C}裡，若u_0和v_0是立方根，其它的立方根就是\omega u_0和\omega^2u_0，當然還有\omega v_0和\omega^2v_0，其中\omega = e^{\frac {2i \pi} {3}}=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}，是1的一个复数立方根。

因為乘積uv = -\frac {p} {3}固定，所以可能的(u, v)是(u_0, v_0)，(\omega u_0, \omega^2v_0)和(\omega^2u_0, \omega v_0)。因此三次方程的其它根是\omega u_0 + \omega^2v_0 - \frac {b'} {3}和\omega^2u_0 + \omega v_0 - \frac {b'} {3}。

判别式
最先嘗試解的三次方程是實係數（而且是整數）。因為實數域並非代數封閉，方程的根的數目不一定是3個。所遺漏的根都在\mathbb{C}裡，就是\mathbb{R}的代數閉包。其中差異出現於U和V的計算中取平方根時。取立方根時則沒有類似問題。

可以證明實數根數目依賴於輔助方程的判別式\Delta = \frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}，
*若\Delta > 0，方程有一个实根和两个共轭複根；
*若\Delta = 0，方程有三个实根：当\frac{q^2}{4}=-\frac{p^3}{27}=0时，方程有一个三重实根；当\frac{q^2}{4}=-\frac{p^3}{27}\ne 0时，方程的三个实根中有两个相等；
*若\Delta ，方程有三个不等的实根：x_1 = 2\sqrt{Q}\cos \frac{\theta}{3}-\frac{b}{3a}, x_{2,3} = 2\sqrt{Q}\cos\frac{\theta \pm 2\pi}{3}-\frac{b}{3a},其中\theta = \arccos \frac{R}{Q\sqrt{Q}}, Q=-\frac{p}{3}, R=\frac{q}{2}（注意，由於此公式應對於x^3 + px = q的形式，因此這裡的q實際上是前段的-q，應用時務必注意取負號即R=-\frac{q}{2}）。

注意到实系数三次方程有一實根存在，這是因為非常數多項式在+\infty和-\infty的極限是無窮大，對奇次多項式這兩個極限異號，又因为多項式是連續函數，所以從介值定理可知它在某點的值為0。

第一個例子
解2t^3 + 6t^2 + 12t + 10 = 0。

我們依照上述步驟進行：

  • t^3 + 3t^2 + 6t + 5 = 0（全式除以2）

*設t = x - 1，代換：(x - 1)^3 + 3(x - 1)^2 + 6(x - 1) + 5 = 0，再展開x^3 + 3x + 1 = 0。

  • x = u + v，U = u^3，V = v^3。設U + V = - 1和UV = - 1。U和V是X^2 + X - 1 = 0的根。

:U = \frac {-1 - \sqrt {5}} {2}和V = \frac {-1 + \sqrt {5}} {2}，

:u = \sqrt[3]{\frac {-1 - \sqrt {5}} {2}}和v = \sqrt[3]{\frac {-1 + \sqrt {5}} {2}}。
:t = x - 1 = u + v - 1，
:= \sqrt[3]{\frac {-1 - \sqrt {5}} {2}} + \sqrt[3]{\frac {-1 + \sqrt {5}} {2}} - 1 \approx -1.3221853546

该方程的另外两个根：
:t_2 \approx -0.838907 + 1.75438 i，
:t_3 \approx -0.838907 - 1.75438i，

第二个例子
这是一个历史上的例子，因为它是邦别利考虑的方程。

方程是x^3 - 15x - 4 = 0。

从函数x \mapsto x^3 - 15x - 4算出判别式的值\Delta = -13068，知道这方程有三实根，所以比上例更容易找到一个根。

前两步都不需要做，做第三步：x = u + v，U = u^3，V = v^3。
:: U + V = 4和UV = 125。
U和V是X^2 - 4X + 125 = 0的根。这方程的判别式已算出是负数，所以只有实根。很吊诡地，这方法必须用到复数求出全是实数的根。这是发明复数的一个理由：复数是解方程必需工具，即使方程或许只有实根。

我们解出U = 2 - 11{\mathrm{i}}和V = 2 + 11{\mathrm{i}}。取复数立方根不同于实数，有两种方法：几何方法，用到辐角和模（把辐角除以3取模的立方根）；代数方法，分开复数的实部和虚部：
现设u = a + b{\mathrm{i}}。
: u^3 = 2 - 11{\mathrm{i}}等价于：
:: a^3 - 3ab^2 = 2（实部）
:: 3a^2b - b^3 = - 11（虚部）
:: a^2 + b^2 = 5（模）

得到a = 2和b = -1，也就是u = 2 - {\mathrm{i}}，而v是其共轭：v = 2 + {\mathrm{i}}。

归结得x = u + v = (2 - {\mathrm{i}}) + (2 + {\mathrm{i}}) = 4，可以立时验证出来。

其它根是x' = j(2 - {\mathrm{i}}) + j^2 (2 + {\mathrm{i}}) = - 2 + \sqrt 3和x* = j^2 (2 - {\mathrm{i}}) + j(2 + {\mathrm{i}}) = - 2 - \sqrt 3，其中j=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}。

当\Delta是负，U和V共轭，故此u和v也是（要适当选取立方根，记得uv = -\frac {p} {3}）；所以我们可确保x是实数，还有x'和x*。

盛金公式法
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0,a\ne0，其中系数皆为实数。

判别式
重根判别式：A=b^2-3ac,\ B=bc-9ad,\ C=c^2-3bd；

总判别式：\Delta=B^2-4AC。

情况1：A=B=0
x_1=x_2=x_3=\frac{-b}{3a}=\frac{-c}{b}=\frac{-3d}{c}。

情况2：\Delta >0
让y_{1,2}=Ab+3a\left(\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2}\right)，得：

x_1=\frac{-b-\left(\sqrt[3]{y_1}+\sqrt[3]{y_2}\right)}{3a}；

x_2=\frac{-2b+\left(\sqrt[3]{y_1}+\sqrt[3]{y_2}\right)+\sqrt{3}\left(\sqrt[3]{y_1}-\sqrt[3]{y_2}\right)\rm}{6a}；

x_3=\frac{-2b+\left(\sqrt[3]{y_1}+\sqrt[3]{y_2}\right)-\sqrt{3}\left(\sqrt[3]{y_1}-\sqrt[3]{y_2}\right)\rm}{6a}。

情况3：\Delta = 0
让k=\frac{B}{A}\ (A\neq0)，得：

x_1=\frac{-b}{a}+k；

x_2=x_3=\frac{-k}{2}。

情况4：\Delta
让t=\frac{2Ab-3aB}{2A\sqrt{A}}\ (A>0, -1，得：

x_1=\frac{-b-2\sqrt{A}\cos\frac{\theta}{3}}{3a}；

x_2=\frac{-b+\sqrt{A}\left(\cos\frac{\theta}{3}+\sqrt{3}\sin\frac{\theta}{3}\right)}{3a}；

x_3=\frac{-b+\sqrt{A}\left(\cos\frac{\theta}{3}-\sqrt{3}\sin\frac{\theta}{3}\right)}{3a}。

极值
驻点的公式
设y=ax^3+bx^2+cx+d

将其微分，可得\frac{dy}{dx} = 3ax^2+2bx+c

#

  • 有序列表项

拐点
\frac{d^2y}{dx^2}=6ax+2b

设\frac{d^2y}{dx^2}=0，可得y。

x=-\frac{b}{3a}

驻点的类型
由函数取极值的充分条件可知：

f^{\prime \prime}(x_e)，x_e是f(x)的极大值点；

f^{\prime \prime}(x_e)>0，x_e是f(x)的极小值点；

f^{\prime \prime}(x_e)=0，x_e是f(x)的拐点。

\frac{d^2y}{dx^2}=6ax+2b=2(3ax+b)可知：

3ax_e+b，y的驻点为极大值点；

3ax_e+b>0，y的驻点为极小值点；

3ax_e+b=0，y的驻点为拐点。

參見
參考資料
外部链接

#方程 #多項式 #初等代数

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