在数学领域内，\mathbb{R}^n的一个非空的闭凸子集A的支撑函数h_A，描述了从A的支撑超平面（supporting hyperplane）到原点的距离。h_A是\mathbb{R}^n上的一个凸函数。任意一个非空的闭凸子集都可以由它的支撑函数唯一确定。进一步地，h_A作为集合A上的函数，与这个集合上许多几何变换是相容的，比如伸缩变换、平移变换、旋转变换以及闵可夫斯基和。因为具有这些性质，支撑函数是凸分析或凸几何中最基础与重要的概念。
定义
\mathbb{R}^n的非空闭凸子集A的支撑函数是：
h_A:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}:x \mapsto\sup\{x \cdot a :a \in A\}，其中x \in \mathbb{R}^n
下面的性质并不要求集合A是闭且凸的：在h_A(x)有界时，集合\{ u \in \mathbb{R}^n : u \cdot x \le h_A(x)\}表示最小的包含A的闭的半空间（half-space）；进一步地，集合\mathcal{H}_x = \{u \in \mathbb{R}^n : u \cdot x = h_A(x) \}就是A的支撑超平面（supporting hyperplane）。
原点到A的支撑超平面的距离d_{\mathcal{H}_x}(0)满足这样的关系：d_{\mathcal{H}_x}(0) = \frac{h_A(x)}。取x 的模为1 就利用A的支撑函数描述了A的支撑超平面到原点的距离。
例子
- 单点集的支撑函数：A = \{a\}，h_A(x) = x \cdot a
- 单位球的支撑函数：B_1 = \{ x \in \mathbb{R}^n : |x| \le 1\}，h_{B_1}(x) = |x|
- 取A为从a到-a的线段，则有：h_A = |x \cdot a|
引用
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