在数学中，凸共轭（）是勒让德变换的一种推广；凸共轭也被称作勒讓德-芬克爾变换（Legendre–Fenchel transformation），以阿德里安-马里·勒让德和威爾納·芬克爾命名。
定义
函数f : X \rightarrow ( - \infty , + \infty ]在扩展的实数轴上取值。
它的凸共轭定义为：f^\star : X^ \rightarrow ( - \infty , + \infty ] : x^ \rightarrow \sup\{ \left \langle x^* , x \right \rangle - f(x) \mid x \in X \}
这里，X表示实賦範向量空間，X^*表示X的对偶空间。
映射 \left \langle \cdot , \cdot \right \rangle : X^ \times X \rightarrow (- \infty , +\infty ]表示一个二次型，满足：对于X^（X）中任意非零元素x^，总能在X（对应地，X^）中找到一个元素x使得 \left \langle x^* , x \right \rangle = 0。
例子
- 仿射变换f(x) = \left\langle a,x \right\rangle - b,\,
a \in \mathbb{R}^n, b \in \mathbb{R}；它的凸共轭是：
f^\star\left(x^{*} \right)
= \begin{cases} b, & x^{*} = a
\\ +\infty, & x^{*} \ne a.
\end{cases}
- 幂函数
f(x) = \frac{1}{p}|x|^p,\,1；它的凸共轭是：
f^\star\left(x^{*} \right)
= \frac{1}{q}|x^{*}|^q,\,1 这里 \tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1.
- 绝对值变换f(x) = \left| x \right|；它的凸共轭是：
f^\star\left(x^{*} \right)
= \begin{cases} 0, & \left|x^{*} \right| \le 1
\\ \infty, & \left|x^{*} \right| > 1.
\end{cases}
- 指数函数
f(x)=\,\! e^x；它的凸共轭是：
f^\star\left(x^{*} \right)
= \begin{cases} x^{} \ln x^{} - x^{} , & x^{} > 0
\\ 0 , & x^{*} = 0
\\ \infty , & x^{*}
性质
逆序性
如果f \le g，那么就有g^ \ge f^。这里的f \le g指，对定义域中所有元素x，都有f(x) \le g(x)成立。
半连续性与两次凸共轭
函数f的凸共轭总具有半连续性，因此函数f的两次共轭f^{}也具有半连续性。同时，f^{}还是是闭凸包，也即最大的凸的半连续函数，满足f^{**} \le f。
由Fenchel-Moreau定理可以知道，对于合適的函数f， f^{**} = f 当且仅当f是半连续的凸函数。
Fenchel不等式
\left\langle p,x \right\rangle \le f(x) + f^(p) ， 这里x \in X , p \in X^，f^*是f的凸共轭。
凸性
凸共轭算子自身是凸的，即：
取函数f_1,f_2，(0,1)间任意实数\lambda，有：\left((1-\lambda)f_0+\lambda f_1\right)^\star\le (1-\lambda)f_0^\star+ \lambda f_1^\star 成立。
最小值卷积
对于两个函数f和g，它们的最小值卷积被定义为
: \left(f \Box g\right)(x) = \inf \left \{ f(x-y) + g(y) \, | \, y \in \mathbb{R}^n \right \}.
如果 f1, …, fm 都是Rn上的proper且凸且半连续的函数。那么它们的最小值卷积是凸且半连续的（但不一定proper），并且满足关系
: \left( f_1 \Box \cdots \Box f_m \right)^{} = f_1^{} + \cdots + f_m^{*}.
两个函数的最小值卷积具有几何意义。两个函数的最小值卷积的超图是这两个函数的超图的闵可夫斯基和
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