高斯-卢卡斯定理，又称卢卡斯定理，该定理描述了複系数多项式的一个性质：多项式导数的根一定在原多项式的根所构成的凸包内。
这一结论曾在1836年被高斯直接使用，1874年由证明。
动机
二次多项式P(x) =ax^2+ bx +c 的导数P'的根为原多项式P的两个根的平均数。
同样地，如果一个 n次多项式有 n 个两两不同的实值零点x_1，根据罗尔定理，其导数的每个零点都位于区间 [x_1,x_n]之中。
高斯-卢卡斯定理可以看成这一性质在复系数多项式上的推广。
表述
设 P 是一个非常数的複系数多项式，那么P'的所有根都属于由P的根构成的凸包。
证明
将多项式函数P写成复数下的不可约形式：P(z)= c\prod_{i=1}^r (z-a_i)^{n_i} ，其中复数c 是多项式的主系数、a_i 是多项式的根、n_i 为各个根的重数。
首先注意到： \frac{P^\prime(z)}{P(z)}= \sum_{i=1}^r\frac{n_i}{z-a_i} 假设复数z满足： P^\prime(z)=0\quad\hbox{且}\quad P(z)\ne0,
因此：
\sum_{i=1}^r\frac{n_i}{z-a_i}=0\quad 乘以共轭取模 \quad
\ \sum_{i=1}^rn_i\frac{\overline{z}-\overline{a_i} } {\vert z-a_i\vert^2}=0,写成如下形式：\left(\sum_{i=1}^r\frac{n_i}{\vert z-a_i\vert^2}\right)\overline{z}= \sum_{i=1}^r\frac{n_i}{\vert z-a_i\vert^2}\overline{a_i} .
此时，可以将z看成是n个位于 a_i的质点的重心，因此在其构成的凸包内。
另一种P(z)=0情况下的证明是显然的。
参考
相关定理
- Théorème de Marden
- 施图姆定理
- Conjecture d'Iliev-Sendov
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