拟凸函数

的概率密度函数是拟凹的，但不是凹的]]

拟凸函数（Quasiconvex function）是一类定义在实向量空间的区间或凸子集上的实值函数，且满足对任意实数a，(-\infty, a)的原像都是凸集。反之如果原像都是凹集，则称为拟凹函数。

凸函数一定是拟凸函数，但反之则不然，因此拟凸函数是一个更广泛的概念。凹函数的情况也类似。

定义与性质
设函数f:S \to \mathbb{R}定义在实向量空间的凸子集S上。我们称f是拟凸的，如果对任意的x, y \in S和\lambda \in [0,1]都有
:f(\lambda x + (1 - \lambda)y)\leq\max\big\{f(x),f(y)\big\}。
另一种等价的定义则是任何的S_\alpha(f) = \{x\mid f(x) \leq \alpha\}都是凸集。

如果有f(\lambda x + (1 - \lambda)y) ，则称f是严格拟凸的。

类似地，可以定义拟凹函数和严格拟凹函数。我们称f是拟凹的，如果对任意的x, y \in S和\lambda \in [0,1]都有
:f(\lambda x + (1 - \lambda)y)\geq\min\big\{f(x),f(y)\big\}。
如果有f(\lambda x + (1 - \lambda)y) > \min\big\{f(x),f(y)\big\}，则称f是严格拟凹的。

如果一个函数既是拟凸的又是拟凹的，则称其为拟线性的。

参见
*凸函数
*凹函数

参考文献