示性函数 (凸分析)

在数学领域的凸分析中，集合的“示性函数”为凸函数，用于表示给定元素是否为该集合的成员（或非成员）。尽管与常规示性函数定义相似，两者也可以相互转换，但根据如下定义的示性函数更适应于凸分析的方法。

定义
假设 A 为集合 X 的子集。 A 的 “示性函数”

:\chi_{A} : X \to \mathbb{R} \cup \{ + \infty \}

在擴展實數線上的值定义为

:\chi_{A} (x) := \begin{cases} 0, & x \in A; \\ + \infty, & x \not \in A. \end{cases}

与指示函数的关系
令 \mathbf{1}_{A} : X \to \mathbb{R} 为一般指示函数：

:\mathbf{1}_{A} (x) := \begin{cases} 1, & x \in A; \\ 0, & x \not \in A. \end{cases}

若采用如下约定

• 对于任意a \in \mathbb{R} \cup \{ + \infty \}， a + (+ \infty) = + \infty 以及 a (+\infty) = + \infty；
• \frac{1}{0} = + \infty；且
• \frac{1}{+ \infty} = 0；

那么，指示函数与示性函数满足如下关系

:\mathbf{1}_{A} (x) = \frac{1}{1 + \chi_{A} (x)}

同时，

:\chi_{A} (x) = (+ \infty) \left( 1 - \mathbf{1}_{A} (x) \right).

参考文献
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