凸函数最优化，或叫做凸最优化，凸最小化，是数学最优化的一个子领域，研究定义于凸集中的凸函数最小化的問題。凸最佳化在某種意義上說較一般情形的數學最佳化問題要簡單，譬如在凸最佳化中局部最佳值必定是全局最佳值。凸函數的凸性使得凸分析中的有力工具在最佳化問題中得以應用，如次导数等。
凸最佳化應用於很多學科領域，諸如自動控制系統，信號處理，通訊和網絡，電子電路設計，數據分析和建模，統計學（最佳化設計），以及金融。在近來運算能力提高和最佳化理論發展的背景下，一般的凸最佳化已經接近簡單的線性規劃一樣直捷易行。許多最佳化問題都可以轉化成凸最佳化（凸最小化）問題。
定義
令\mathcal{X} \subset \mathbb{R}^n為一凸集，且f:\mathcal{X}\to \mathbb{R}為一凸函數。凸最佳化就是要找出一點x^\ast \in \mathcal{X}，使得每一x \in \mathcal{X}滿足f(x^\ast)\le f(x)。在最佳化理論中，\mathcal{X}稱為可行域，f稱為目標函數，x^\ast稱為全局最優值，或全域最佳解。
或者可以表示為下面的標準型：
\begin{align}
&\operatorname{min}& & f(x) \\
&\operatorname{subject\;to}
& &g_i(x) \leq 0, \quad i = 1,\dots,m
\end{align}
其中
f, g_1 \ldots g_m : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}
為凸函數。
舉例
以下問題都是凸最佳化問題，或可以通過改變變量而轉化為凸最佳化問題：
- 最小二乘
- 線性規劃
- 線性約束的二次規劃
- 半正定规划
- 二阶锥规划
方法
凸最佳化（凸最小化）問題可以用以下幾種方法求解：
- 捆集法
- 次梯度法
- 內點法
腳註
參考資料
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