真凸函数

在数学分析， 特别是凸分析与最优化中， 凸函数 f 在扩展实数线上的取值若满足存在 x 使得

:f(x)

同时对所有 x 满足

:f(x) > -\infty

称被称作真凸函数。 这意味着，若凸函数为“真”， 则其有效域非空，值不为 -\infty.。

不满足真条件的凸函数被称作“非真凸函数”。

若函数 g 的负函数 f = -g 为真凸函数， 则 g 为“真凹函数”。

性质
对于Rn 上任意真凸函数f， 存在Rn上的 b 与实数 β， 使得所有 x满足
:f(x) \ge x \cdot b - \beta

两个真凸函数的和未必保持真与凸的性质。举例来说， 假设集合 A \subset X 与 B \subset X 均为向量空间 X 上的非空 凸集， 那么特征函数 I_A 和 I_B 为真凸函数， 但是当 A \cap B = \emptyset 时， I_A + I_B 始终等于 +\infty.

两个真凸函数的卷积下确界为凸函数， 但未必是真凸。

参考文献