赫爾德不等式（）是數學分析的一條不等式，取名自德國數學家奧托·赫爾德。這是一條揭示Lp空間的相互關係的基本不等式：
設S為測度空間，1 \le p,q \le \infty，及{1\over p} + {1\over q} = 1，設f在L^p(S)內，g在L^q(S)內。則f\mbox{ }g在L^1(S)內，且有
:\|fg\|_1 \le \|f\|_p \|g\|_q,
等号当且仅当|f|^p 与|g|^q （幾乎處處）线性相关时取得，即有常數\alpha, \beta使得\alpha |f(x)|^p = \beta |g(x)|^q 對幾乎所有 x\in S成立。
若S取作\{1,...,n\}附計數測度，便得赫爾德不等式的特殊情形：對所有實數（或複數）x_1,\mbox{ }...,\mbox{ }x_n;\mbox{ }y_1,\mbox{ }...,\mbox{ }y_n，有
:\sum_{k=1}^n |x_k y_k| \leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{\frac{1}{p}} \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{\frac{1}{q}} 。
上式等號成立的充要條件是|x_1|:|x_2|:\cdots:|x_n|= |y_1|:|y_2|:\cdots:|y_n|，而我们称 p 和 q 互为赫尔德共轭。
若取S為自然數集附計數測度，便得與上類似的無窮級數不等式。
當p = q = 2，便得到柯西-施瓦茨不等式。
赫爾德不等式可以證明L^p空間上一般化的三角不等式，閔可夫斯基不等式，和證明L^p空間是L^q空間的對偶。
备注
- 在赫尔德共轭的定义中，\frac{1}{\infty}意味着零。
- 如果1 \leq p，q ，那么\lVert f \rVert_p和\lVert g \rVert_q表示（可能无穷的）表达式：
:\biggl(\int_S |f|^p\,\mathrm{d}\mu\biggr)^{\frac{1}{p}} 以及 \biggl(\int_S |g|^q\,\mathrm{d}\mu\biggr)^{\frac{1}{q}}.
- 如果 p=\infty，那么\lVert f \rVert_\infty表示 |f| 的本性上确界，\lVert g \rVert_\infty也类似。
- 在赫尔德不等式的右端，0乘以\infty以及\infty乘以0意味着 0。把 a>0 乘以\infty，则得出\infty。
证明
赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。
如果\lVert f \rVert_p=0，那么f \mu-几乎处处为零，且乘积fg \mu-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果\lVert g \rVert_q=0也是这样。因此，我们可以假设\lVert f \rVert_p>0且\lVert g \rVert_q>0。
如果\lVert f \rVert_p=\infty或\lVert g \rVert_q=\infty，那么不等式的右端为无穷大。因此，我们可以假设\lVert f \rVert_p和\lVert g \rVert_q位于 (0,\infty) 内。
如果 p=\infty 且 q = 1，那么几乎处处有 |fg| \leq \lVert f \rVert_\infty |g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于 p=1和q=\infty，情况也类似。因此，我们还可以假设p, q \in (1,\infty)。
分别用 f 和 g 除\lVert f \rVert_p\lVert g \rVert_q，我们可以假设：
:\|f\|_p = \|g\|_q = 1.
我们现在使用杨氏不等式：
:a b \le \frac{a^p}p + \frac{b^q}q,
对于所有非负的 a 和 b，当且仅当 a^p = b^q 时等式成立。因此：
:|f(s)g(s)| \le \frac{|f(s)|^p}p + \frac{|g(s)|^q}q,\qquad s\in S.
两边积分，得：
:\|fg\|_1 \le 1,
这便证明了赫尔德不等式。
在 p \in (1,\infty) 和 \lVert f \rVert_p = \lVert g \rVert_q = 1 的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有|f|^p = |g|^q。更一般地，如果 \lVert f \rVert_p 和 \lVert g \rVert_q 位于 (0,\infty) 内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在\alpha,\beta>0（即 \alpha= \lVert g \rVert_q 且 \beta=\lVert f \rVert_p ），使得：
:\alpha |f|^p = \beta |g|^q\, \mu-几乎处处 (*)
\lVert f \rVert_p=0的情况对应于()中的 \beta=0。\lVert g \rVert_q=0 的情况对应于()中的 \alpha=0。
反向赫尔德不等式
当0时，\|\cdot\|_p不再满足三角不等式，此时成立反向赫尔德不等式(Reverse Hölder inequality):
:\|fg\|_1 \ge \|f\|_p \|g\|_q
参考文献
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