維廷格函數不等式

數學上，實函數的維廷格不等式是傅里叶分析中的一條不等式，得名於。1904 年，其用作證明等周不等式。若干相關變式也稱作維廷格不等式。

定理
第一形式
設 f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} 為週期 2π 的周期函数，其在 R 上連續，並有連續導數，且滿足

:\int_0^{2\pi}f(x) \, dx = 0.

則

:\int_0^{2\pi}f'^2(x) \, dx \ge \int_0^{2\pi}f^2(x) \, dx

其中等號成立當且僅當 f(x) = a sin(x) + b cos(x) 對某些 a 和 b 成立（換言之，對某些 c 和 d, 有 f(x) = c sin (x + d) ）。

此形式的維廷格不等式即是一維情形下的庞加莱不等式，並且具有最優的常數（龐加萊常數）。

第二形式
以下相關的不等式也稱為維廷格不等式：:

若 f 為 C1 函數（即連續並具有連續導數）使得 f(0) = f(a) = 0, 則

:\pi^{2}\int_0^a |f|^2 \le a^2 \int_0^a|f'|^2.

此形式的維廷格不等式即是一維的。

證明
兩者證明類似。以下給出第一條不等式的證明。由於 f 滿足狄利克雷條件，有傅立葉展開

:f(x)=\frac{1}{2}a_0+\sum_{n\ge 1}\left(a_n\frac{\sin nx}{\sqrt{\pi}}+b_n\frac{\cos nx}{\sqrt{\pi}}\right).

由於 f 的積分為零，有 a0 = 0. 又由帕塞瓦尔恒等式，有

:\int_0^{2\pi}f^2(x)dx=\sum_{n=1}^\infty(a_n^2+b_n^2)

和

:\int_0^{2\pi}f'^2(x) \, dx = \sum_{n=1}^\infty n^2(a_n^2+b_n^2).

各項中 (a_n^2+b_n^2) 非負，而 n2 ≥1，故欲證的不等式成立。等號成立當且僅當對任意的 n ≥ 2, 皆有an = bn = 0.

參考文獻
*

(1983) Euler's buckling formula and Wirtinger's inequality. Internat. J. Math. Ed. Sci. Tech. 14, no. 6, 661—668.