格朗沃尔不等式

在数学中，格朗沃尔不等式（Grönwall's inequality）或格朗沃尔引理（Grönwall's lemma）说明了对于满足一定的微分方程或积分方程的函数，有相应的关于此微分方程或积分方程的不等式。格朗沃尔不等式有两种形式，分别是积分形式和微分形式。积分形式下的不等式可以有几种不同的写法。

格朗沃尔不等式常常被用来估计常微分方程的解的取值范围。比如，它可以用来证明初值问题的解的唯一性（见柯西-利普希茨定理）。

格朗沃尔不等式的名称来自。格朗沃尔是一位瑞典的数学家，后来移居美国。

格朗沃尔不等式的微分形式首先由格朗沃尔在1919年证明。而积分形式则是由理查德·贝尔曼在1943年证明。

微分形式
设 I 是一个实数区间，记为：[a, ∞) 或 [a, b] 或 [a, b)，其中 a u'(t) \le \beta(t)\,u(t),\qquad t\in I^\circ,

那么对于所有的t\in I^\circ，函数 u 都小于等于以下微分方程y'(t) = \beta(t)\,y(t)的解：

:u(t) \le u(a) \exp\biggl(\int_a^t \beta(s)\, \mathrm{d} s\biggr)

注意：不等式对函数 β 和 u 的符号没有任何要求。

证明
如果设

:v(t) = \exp\biggl(\int_a^t \beta(s)\, \mathrm{d} s\biggr)

是以下微分方程

:v'(t) = \beta(t)\,v(t),

其中 v(a) = 1 的解，那么对所有的 t 都有 v(t) > 0， 因此根据复合函数求导法则中的除法定则：

:\frac{d}{dt}\left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v-v'u}{v^2} \le \frac{\beta u v - \beta v u}{v^2} = 0

对所有的 t > a 成立，因此

:\frac{u(t)}{v(t)}\le \frac{u(a)}{v(a)}=u(a)

于是格朗沃尔不等式得证。

积分形式
设 I 是一个实数区间，记为：[a, ∞) 或 [a, b] 或 [a, b)，其中 a u(t) \le \alpha(t) + \int_a^t \beta(s) u(s)\,\mathrm{d}s,\qquad t\in I，
:那么
:: u(t) \le \alpha(t) + \int_a^t\alpha(s)\beta(s)\exp\biggl(\int_s^t\beta(r)\,\mathrm{d}r\biggr)\mathrm{d}s,\qquad t\in I。
(b) 如果在之前的条件下， α* 还是一个常数，那么

::u(t) \le \alpha\exp\biggl(\int_a^t\beta(s)\,\mathrm{d}s\biggr),\qquad t\in I.

注意：

• 不等式的成立条件里并没有限制 α 和 u 的符号；
• 相比于微分形式，积分形式中对函数 u 的可微性没有做要求；

证明
(a) 定义
:v(s) = \exp\biggl({-}\int_a^s\beta(r)\,\mathrm{d}r\biggr)\int_a^s\beta(r)u(r)\,\mathrm{d}r,\qquad s\in I.

则运用复合函数求导法则中的乘積法則、链式法则、指数函数的求导法则以及微积分基本定理，可以得到：

:v'(s) = \biggl(\underbrace{u(s)-\int_a^s\beta(r)u(r)\,\mathrm{d}r}_{\le\,\alpha(s)}\biggr)\beta(s)\exp\biggl({-}\int_a^s\beta(r)\mathrm{d}r\biggr),
\qquad s\in I，

由于注意到括号中的部分小于 α，可以得到相应的不等式，并进行积分。由于函数 β 以及其指数都是非负函数，不等号保持不变。然而 v(a) = 0，因此积分式等价于：

:v(t) \le\int_a^t\alpha(s)\beta(s)\exp\biggl({-}\int_a^s\beta(r)\,\mathrm{d}r\biggr)\mathrm{d}s.

再运用第一步里 v(t) 的定义，就得到：

:\begin{align}\int_a^t\beta(s)u(s)\,\mathrm{d}s
&=\exp\biggl(\int_a^t\beta(r)\,\mathrm{d}r\biggr)v(t)\\
&\le\int_a^t\alpha(s)\beta(s)\exp\biggl(\underbrace{\int_a^t\beta(r)\,\mathrm{d}r-\int_a^s\beta(r)\,\mathrm{d}r}_{=\,\int_s^t\beta(r)\,\mathrm{d}r}\biggr)\mathrm{d}s
\end{align}。

最后将原来条件里的不等式带入上式左边，就可以得到格朗沃尔不等式了。

(b) 如果函数 α 为常数函数，那么命题 (a) 中不等式的右边可以进行积分。由微积分基本定理可以获得：

:\begin{align}u(t)&\le\alpha+\biggl({-}\alpha\exp\biggl(\int_s^t\beta(r)\,\mathrm{d}r\biggr)\biggr)\biggr|^{s=t}_{s=a}\\
&=\alpha\exp\biggl(\int_a^t\beta(r)\,\mathrm{d}r\biggr),\qquad t\in I \end{align}。

参见
*全局解

参考来源
*楼红卫，林伟，《常微分方程》，复旦大学出版社，2007年，ISBN：978-7-309-05590-0/O.400
*李荣华，刘播，《微分方程数值解法(第4版)》，高等教育出版社，2009年。
Jan A. Sanders, Ferdinand Verhulst, James A. Murdock, Averaging methods in nonlinear dynamical systems*, Springer,2007.