指示函数

在集合論中，指示函数是定义在某集合X上的函数，表示其中有哪些元素属于某一子集A。指示函数有时候也称为示性函数或特征函数。

集X的子集A的指示函数是函数1_A : X \to \lbrace 0,1 \rbrace，定义为

:

A的指示函数也记作\chi_A(x)\,或I_A(x)\,。

简单性质
把X的子集A对应到它的指示函数的映射是雙射，值域是所有函数f:X \to \{0,1\}的集合。

如果A和B是X的两个子集，那么
:1_{A\cap B} = \min\{1_A,1_B\} = 1_A 1_B\,，
以及
:1_{A\cup B} = \max\{{1_A,1_B}\} = 1_A + 1_B - 1_A 1_B\,。

更一般地，设A1, ..., An是X的子集。对任意x \in X，可知

: \prod_{k \in I} ( 1 - 1_{A_k}(x)) = 1当且仅当x不属于任何Ak。
故有
: \prod_{k \in I} ( 1 - 1_{A_k}) = 1_{X - \bigcup_{k} A_k} = 1 - 1_{\bigcup_{k} A_k}。

展开左式

:\; 1_{\bigcap_F A_k}
|-
|
|= \sum_{\varnothing \neq F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^

其中|F|是F的势。这是容斥原理的一个形式。

如上一例子所示，指示函数是组合数学一个有用记法。这记法也用在其他地方，例如在概率论：若X是概率空间，有概率测度P，A是可测集，那么1A就是随机变量，其期望值等于A的概率。

:E(1_A)= \int_{X} 1_A(x)\,dP = \int_{A} dP = P(A)。

这等式用于马尔可夫不等式的一个简单证明裡。