实变函数论

的傅立葉級數的前四項。傅立葉級數是實分析的一項重要工具]]

實分析，也称为實數分析、实变函数论（、），是處理實數及实函数的數學分析。專門研究實數函數及數列的解析特性，包括實數數列的極限，實函數的微分及積分、連續性、光滑性以及其他相關性質。

實分析常以基礎集合論，函數概念定義等等開始。

內容
實數的構造
有許多種將實數定義為有序域的方式。合成的作法會提供許多實數的公理，將實數變成完備有序域。在一般集合论的公理下，可以證明這些公理都是明確的，也就是說有一個公理的模型，任兩個模型都是同构的。這些模型中需要有一個有明確的定義，而大部份的模型都可以用實數為有序域時的基本性質來得到。

實數的有序性
實數有許多重要的特性是和數學中格的定義有關，這些性質也是複數所沒有的。其中最重要的是，實數形成有序域，實數的有序滿足反對稱性、傳遞性及完全性，屬於全序关系，而且實數有最小上界性。實數中的偏序关系帶來了實變分析中許多重要的定理，例如单调收敛定理、介值定理及中值定理。

在實變分析中這些定理只針對實數，不過許多的結果可以應用在其他的数学对象。特別是許多泛函分析及算子理論中的概念是來自實數中概念的擴展，這類的擴展包括及的理論。也有數學家考慮複數數列的實部及虛部，例如算子數列的。

序列
序列是一個定義域為可數全序集合的函数，多半會讓定義域是自然數或是所有整數。例如，一個實數的序列為以下定義的映射a:\mathbb{N}\to\mathbb{R},\ n\mapsto a_n，常會表示為(a_n)=(a_n)_{n\in\mathbb{N}}=(a_1, a_2, a_3, \cdots)。若一序列會慢慢的接近一個极限（也就是存在\lim_{n\to\infty}a_n ），稱此序列為收斂，否則則稱此序列為發散。

極限
極限是指函数或序列在其輸入接近一定值時，其輸出數值所接近的特定定值。極限是微积分学及廣義数学分析的基礎，連續函數、导数及积分也是利用極限來定義。

連續函數
若函数的輸入及輸出值都是实数，可以表示成笛卡儿坐标系上的图形。粗略來說，若函数图形是一條連續未分割的曲线，其中沒有「洞」或是「斷點」，函數即為連續函數。

針對上述粗略的定義，在數學上有許多嚴謹的定義。這些定義彼此是等价的，因此會用最簡單而方便的定義來確認一個函數是否是連續，在以下的定義中
:f\colon I \rightarrow \mathbf R.
是一個定義在實數\boldsymbol{R}以內子集的函數，子集I稱為函數f的定義域。子集I的一些可能選擇包括I=\boldsymbol{R}（所有實數）、以下的開區間
:I = (a, b) = \{x \in \mathbf R \,|\, a
或閉區間
:I = [a, b] = \{x \in \mathbf R \,|\, a \leq x \leq b \}.
因此a及b是實數。

一致连续是連續函數中，比連續函數更強的性質。若X和Y是實數子集，函數f:X\rightarrow Y為一致连续的條件是針對所有大於0的實數\varepsilon，存在一實數\delta >0，使得針對所有的x,y\in X,\left \vert x-y \right \vert 即表示\implies \left \vert f(x)-f(y) \right \vert 。

一致连续和每一點連续的差異在一致连续時，\delta值只和\varepsilon值有關，和該值在定義域中的位置無關。一般情況下，連續不意味著均勻連續。

級數
給定一無窮序列 (a_n)，即可定義相關的級數為a_1+a_2+a_3+\cdots=\sum_{n\in\mathbb{N}}a_n，有時會簡稱為\sum a_n。級數的部份和\sum a_n為s_n=\sum_{j=1}^n a_j。級數\sum a_n收斂的條件是部份和的數列(s_n)收斂，否則級數即稱為發散。收斂級數的和s=\sum_{n=1}^\infty a_n定義為s=\lim_{n\to\infty}s_n.

等比数列的和就是一個收斂級數，也是芝诺悖论的基礎：

:\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+\cdots=1.

以下的調和級數即為發散級數：

:\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots=\infty.

（此處“=\infty”不是嚴謹的表示方式，只是表示部份和會無限制地増長）

微分
函數f在a位置的導數為以下的函數極限

:f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

若導數在所有位置都存在，稱函數為可微分，可以再繼續計算函數的高階導數。

也可以將函數依其微分分類來區分。分類C^0包括所有連續函數，分類C^1包括所有導數連續的可微函数，這類函數稱為「連續可微」。分類C^1是指其導數在分類C^1中的函數。一般來說，分類C^k可以用递归方式定義，定義方式是宣告分類C^0是所有的連續函數，而分類C^k（k為正整數）是所有可微，而且其導數為C^{k-1}的函數。而分類C^k包括在分類C^{k-1}中，對所有的正整數k都成立。分類C^\infty是所有C^k的交集，其中k為所有的非負整數。C^\omega包括所有的解析函数，是分類C^\infty的嚴格子集。

積分
黎曼積分
黎曼積分定義函數的黎曼和，對應為一個區間內的標記分區（tagged partitions）。令[a,b]為實數下的封閉區間，則在區間[a,b]內的標記分區為有限數列

: a = x_0 \le t_1 \le x_1 \le t_2 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le t_n \le x_n = b . \,\!

將區間[a,b]分隔為n個下標為i子區間[x_{i-1},x_i]，每一個用不同的點t_i\in [x_{i-1},x_i]來標記。函數f對應標記分區的黎曼和定義為

:\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta_i ;

則和的每一項都是長方形的面積，其高為函數在給定子區間內，標示點的數值，寬和子區間的寬相等。令\Delta_i=x_i-x_{i-1}為子區間i的寬，則標記分區的網格為長子區間中最寬區間的寬度\mathrm{max}_{i=1\ldots n}\Delta_i。函數f在區間[a,b]內的黎曼積分等於S若：

:對所有\varepsilon >0，存在\delta>0使得，對於任何有標示，且網格小於\delta的區間[a,b]，以下的式子成立
::\left| S - \sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta_i \right|
若選定的標示都是每個區間內函數的最大值（或最小值），黎曼積分就會成為上（或下）达布和，因此黎曼積分和达布积分有緊密的關係。
勒貝格積分
勒貝格積分是一種積分概念，可以將積分延伸到更大範圍的函數，同時也拓展函數的定义域。
分布
分布或是广义函数是一種將函数擴展後產生的概念。透過分布可以針對一些在傳統定義下其導數不存在的函數進行微分（例如单位阶跃函数）。而任何局部可积函数都一定會有广义函数下的導數。

和複變分析的關係
实变函数论是数学分析的一部份，探討像數列及其極限、連續性、函數的导数及积分。實變分析專注在实数，多半會包括正負無窮大以形成擴展實軸。實變分析和研究复数對應性質的複分析緊密相關。在複分析中，很自然的會對全純函數定義导数，全純函數有許多有用的性質，包括多次可微、可以用幂级数表示，而且滿足柯西積分公式。

實變分析中也很自然的去考慮可微、光滑函數或调和函数，這些也常常用到，不過仍少了一些複變中全純函數中有力的性質。而且代数基本定理若以複數表示時會比較簡單。

複變中解析函数理論的技巧也可以用在實變分析，例如應用留数定理來計算實變函數的定積分。

重要結果
實分析的重要結果包括波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理、海涅－博雷尔定理、介值定理、中值定理、微积分基本定理及单调收敛定理。

實分析的許多概念可以擴展到廣義的度量空间，包括巴拿赫空间及希尔伯特空间。

相關條目
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*时标微积分
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*複分析

参考资料