恆等函數

恆等函數（）是数学中对于傳回和其輸入值相同的函數的称呼。換句話說，恆等函數為函數f(x)~=~x。

定義
設M為一集合，於M上的恆等函數f被定義於一具有定義域和陪域M的函數，其對任一M內的元素x，會有f(x)=x的關係。

於M上的恆等函數f通常標記為\operatorname{Id}_m或{1}_m。

代數性質
設f : M → N為任一函數，則會有f o idM = f = idN o f（其中"o"為函數複合）。特別地是，idM會是所有由M至M的函數所組成之幺半群的單位元。

因為幺半群的單位元是唯一的，也可以反過來把M上的恆等函數定義為這個幺半群的單位元。此一定義廣義化成了於範疇論中恆等態射的概念，其中M的自同態並不必然是函數。

例子

• 於正整數上的恆等函數為一數論中的完全積性函數。
• 在任意一个 n 維向量空間內，恆等函數表示成單位矩陣In，不論其基為何。
• 在任意一个度量空間，恆等函數很當然地為等距同構。一無任何對稱的物件會有一對稱群，即只包含這個恆等函數的平凡群*C1。

参见
*內含映射