實值函數

為單位的质量是一個實值函數的例子。]]
實值函數是值域為实数的函数，也就是可以為其定義域的每個成員都指定一個實數。

實變數的實值函數（实函数）和實值的是微积分学和实变函数论研究的主要主題。許多函数空间都包括實值函數。

代數結構
令{\mathcal F}(X,{\mathbb R})是從集合到實數\mathbb R所有函數的集合。因為\mathbb R是個域，{\mathcal F}(X,{\mathbb R})可以變成實數上的向量空间和結合代數，有以下的運算：
*f+g: x \mapsto f(x) + g(x) – 向量加法
*\mathbf{0}: x \mapsto 0 – 加法單位元
*c f: x \mapsto c f(x),\quad c \in \mathbb R – 标量乘法
*f g: x \mapsto f(x)g(x) – 逐点乘法

上述運算可以延伸到到\mathbb R,的偏函数，其限制是偏函數和只在和的定义域交集不是空集合時才有定義，此例中，其定義域就是和定義域的交集。

因為\mathbb R是有序集，存在以下的偏序关系
*\ f \le g \quad\iff\quad \forall x: f(x) \le g(x),
在{\mathcal F}(X,{\mathbb R})，會使{\mathcal F}(X,{\mathbb R}) 成為。

可測
博雷爾集的The σ-代数是實數裡的重要結構。若有其σ-代數，且函數使得任何博雷爾集 的像都屬於該σ-代數，則是可测函数。可测函数會形成向量空間以及代數。

甚至，上實值函數的集合可以定義σ-代數，是由所有博雷爾集的所有像所產生的。這也是σ-代數出現在（機率公設）概率论的原因，其中，样本空间上的實值函數是實值随机变量。

連續
實數形成了拓扑空间和完备空间。连续實值函數（其中隱含了是拓扑空间）在点集拓扑学理論中很重要。极值定理表示，針對紧空间中的任何連續實值函數，其全域极值（最大值和最小值）存在。

度量空间概念本身是用二個變數的實值函數來定義的，其度量是連續的。有其特別的重要性。收斂數列也可以視為是在特殊拓扑空間上的實值函數。

連續函數也形成向量空間，也有上述的幾何結構，也是的子集合，因為所有的拓扑空间都會有由開集（或閉集）產生的σ-幾何。

光滑
實數也是用來定義光滑函數的陪域（codomain）。實光滑函數的定義域可以是（會得到）、拓撲向量空間,、上述的开集，或是光滑流形。

光滑函数的空間也是向量空間，也有上述的幾何結構，也是連續函數空間的子集。

測度理論中的應用
集合的测度是其子集σ-幾何上的非負實值泛函。集合上，有度量的Lp空间可由前述的定義，不過他們其實是商空间。更準確地說，滿足適當可積性的函數，定義了Lp空間的元素，但反過來說，對於任意，，而x不是，的值未定義。不過，實值Lp空間仍有一些前述代數結構中的特質。每一個Lp空間都是向量空間，也都有偏序，也存在函數的逐點乘法，可以改變，公式如下
:\sdot: L^{1/\alpha} \times L^{1/\beta} \to L^{1/(\alpha+\beta)},\quad
0 \le \alpha,\beta \le 1,\quad\alpha+\beta \le 1.
例如，兩個L2函數的點乘屬於L1。

其他領域的應用
其他會用到實值函數和其性質的領域包括单调函数（在偏序关系裡）、凸函数（在向量和仿射空间）、调和函数和次调和函数（在黎曼流形）、解析函数（在一個或多個實數變數）、代數函數（在實代数簇）和（一個或多個實變數的）多項式

相關條目

• 实变函数论
• 偏微分方程，其中常出現實值函數
• 范数
• 标量 (数学)

腳註
參考資料
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• Gerald Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1999, .

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外部連結