测度 · 茶年 · 中文维基百科

，如果集合A是集合B的子集，那么集合A的测度小于或等于集合B的测度。此外空集的测度为0。例如体积（物体所占据的空间的大小）就是一种测度。]]

在数学中，测度（measure）是一種將几何空間的度量（长度、面积、体积）和其他共识（普通观念、共有概念，如大小、质量和事件的概率）廣義化和形式化後產生的概念（concept）。

在信息技术、办公机械中，测度是通过执行一次测量，以测量结果来赋值（赋予对象属性）的变量（数或类别）。

传统的黎曼积分是在区间上进行的，為了把积分推广到更一般的集合上，人們就发展出测度的概念。一个特别重要的例子是勒贝格测度，它從 n 维欧式空间 {\R}^n 出發，概括了傳統长度、面积和体积等等的概念。

研究測度的學問被統稱為测度论（measure theory），因為指定的數值通常是非負实数，所以测度论通常會被視為实分析的一个分支，它在数学分析和概率论有重要的地位。

正式定义
{{math_theorem
|name=定義
|math_statement=
(X,\,\Sigma) 為可测空间，函数 \mu:\Sigma\to[0,\,\infty) 若满足：

\mu(\varnothing) = 0 (空集合的测度为零)

可数可加性( \sigma-可加性)：若集合序列 \{E_n\in\Sigma\}_{n\in\N} 對所有不相等正整數 i\neq j 都有 E_i\cap E_j=\varnothing ，則

: \mu\left(\bigcup_{n\in\N} E_n\right) = \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n)。

那 \mu 被稱為定義在 \Sigma 上的一個非負測度，或簡稱為測度。為了敘述簡便起見，也可稱 (X,\,\Sigma,\,\mu) 为一测度空间。
}}
直觀上，測度是「體積」的推廣；因為空集合的「體積」當然為零，而且互相獨立的一群（可數個）物體，總「體積」當然要是所有物體「體積」直接加總（的極限）。而要定義「體積」，必須先要決定怎樣的一群子集合，是「可以測量的」，詳細請見-代數。

如果將 \mu 的值域擴展到複數，也就是說 \mu:\Sigma\to\C ，那 \mu 會被進一步稱為複數測度。

定義的分歧
若照著上述定義，根據可数可加性，不少母集合本身的測度值會變成无穷大（如對 {\R}^n 本身取勒贝格测度），所以實際上不存在。但某些書籍會形式上將无穷大視為一個數，而容許測度取值為無窮大；這樣定義的書籍，會把只容許有限实数值的測度稱為（非負）有限測度。但這樣"定義"，會造成可數可加性與數列收斂的定義產生矛盾。

所以要延續體積是一種＂度量＂的這種直觀概念（也就是嚴謹的定義勒贝格测度），那就必須把-代數換成條件比較寬鬆的，然後以此為基礎去定義一個對應到＂體積＂的。

更進一步的，如果對測度空間 (X,\,\Sigma,\,\mu) 來說，母集合 X 可表示為 \Sigma 內的某可測集合序列 \{E_n\in\Sigma\}_{n\in\N} 的并集：

:X = \bigcup_{n\in\N} E_n

若 E_n 皆為有限測度集，則 \mu 會被進一步的稱為（非負）σ-有限测度。

性质
单调性
测度\mu\ 的单调性：
若E_1\ 和E_2\ 为可测集，而且 E_1 \subseteq E_2，则 \mu(E_1) \leq \mu(E_2)。

可数个可测集的并集的测度
若E_1, E_2, E_3\cdots为可测集（不必是两两不交的），则集合E_n\ 的并集是可测的，且有如下不等式（「次可列可加性」）：
:: \mu(\bigcup_{i=1}^\infty E_i) \leq \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)
如果还满足并且对于所有的n\ ，E_n\ ⊆E_{n+1}\ ，则如下极限式成立：
:: \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i).

可数个可测集的交集的测度
若E_1,E_2,\cdots为可测集，并且对于所有的n\ ，E_{n+1}\ ⊆E_n\ ，则E_n\ 的交集是可测的。进一步说，如果至少一个E_n\ 的测度有限，则有极限：
:: \mu(\bigcap_{i=1}^\infty E_i) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i)

如若不假设至少一个E_n\ 的测度有限，则上述性质一般不成立。例如对于每一个n\in \mathbb{N}，令
:: E_n = [n, \infty) \subseteq \mathbb{R}
这裡，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。

完备性
直觀上，因為測度的單調性，只要包含於零測集的集合，也「應該」是零測集，完備測度的定義體現了這個直觀的想法。更進一步的，任意测度可以按如下的定理擴展为完备测度：

{{math_theorem
| math_statement =

(X,\,\Sigma,\,\mu) 是测度空间，若取：

:\Sigma^\star
:=
\bigg\{
S \,\bigg|\,
(S \subseteq X)
\wedge
(\exists A)(\exists B)\{
(A,\, B \in \Sigma)
\wedge
(A \subseteq S \subseteq B)
\wedge
[\mu(B-A) = 0]
\}
\bigg\}

那 \Sigma^\star 是一個Σ-代数，此時若定義：

:\mu^\star
:=
\bigg\{
\langle S,\,r \rangle \,\bigg|\,
(S \subseteq X)
\wedge
(\exists A)(\exists B)\{
(A,\, B \in \Sigma)
\wedge
(A \subseteq S \subseteq B)
\wedge
[\mu(B-A) = 0]
\wedge
[r = \mu(A)]
\}
\bigg\}

那 \mu^\star 是定義在 \Sigma^\star 上的完備測度，且有：

:(\forall S \in \Sigma)[\mu^\star(S) = \mu(S)]
}}

例子
下列是一些测度的例子（顺序与重要性无关）。

计数测度　定义为\mu(S) = S\ 的「元素个数」。
一维勒贝格测度是定义在\mathbb{R}的一个含所有区间的σ代数上的、完备的、平移不变的、满足\mu([0,1])=1\ 的唯一测度。
Circular angle测度是旋转不变的。
局部紧拓扑群上的哈尔测度是勒贝格测度的一种推广，而且也有类似的刻划。
恆零测度定义为\mu(S) = 0\ ，对任意的S\ 。

*每一个概率空间都有一个测度，它对全空间取值为1（于是其值全部落到单位区间[0,1]中）。这就是所谓概率测度。见概率论公理。
其它例子，包括：狄拉克测度、波莱尔测度、若尔当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度、贝尔测度、拉东测度。

测度

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