σ-有限测度是测度论中的一个概念。對测度空间 (X,\,\Sigma,\,\mu) 來說，若测度 \mu 其對任意 A \in \Sigma 的取值 \mu(A) 是一个有限的实数（而不是无穷大），那么就称这个测度为有限测度。
若測度空間的母集合 X 可表示为 \Sigma 的某有限可測集合序列 \{E_n\in\Sigma\}_{n\in\N} 的并集：
: X = \bigcup_{n\in\N} E_n
則么就称这个测度为有限测度。進一步的，如果 X 的某个子集能够表示为 \Sigma 之中的某可測集合序列的并集，那么也称这个子集拥有σ-有限测度。
例子
*勒贝格测度：实数集\mathbb{R}上的勒贝格测度不是有限测度，因为整个实数轴的“长度”，也就是全集\mathbb{R}的测度是无穷大。但是，勒贝格测度是有限测度，因为\mathbb{R}可以表示为所有形如[-n,n]的区间的并集，而每个区间的测度都是有限的（等于2n）：
*:\mathbb{R} = \bigcup_{n=1}^{\infty} [-n,n].
*计数测度：实数集\mathbb{R}上的计数测度，是将任何的子集的元素“个数”作为测度值的测度：含有无穷多个元素的子集的测度就是无穷大。这个测度不是有限测度，因为实数集是不可数的，它不能表示成可数个只包含有限个元素的子集的并集。不过，自然数集\mathbb{N}上的计数测度就是有限测度，因为全集\mathbb{N}可以（很自然地）表示成可数个测度为1的子集的并集：
*:\mathbb{N} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \{ n \}.
*局部紧群：设G是一个局部紧的拓扑群，并且是紧致的，那么群G上的哈尔测度是有限测度。
性质
有限测度中，全集可以表示为 \mathcal{A}中的可数个有限测度子集的并集：\Omega = \bigcup_{n=1}^{\infty} B_n ，但实际上表示的方法可以不止一种。比如说，令
:\forall n \in \mathbb{N}, \; \; C_n = \bigcup_{k=1}^{n} B_k \in \mathcal{A},
那么\forall n \in \mathbb{N}, \; \; \mu(C_n) \leqslant \sum_{k=1}^{n} \mu(B_k)，也就是说\left(C_n\right)_{n\in\mathbb{N}}也是一系列有限测度的子集，并且C_1 \subset C_2 \subset \cdots \subset C_n \subset C_{n+1} \subset \cdots ，所以\mu(C_1) \leqslant \mu(C_2) \leqslant \cdots \leqslant \mu(C_n) \leqslant \mu(C_{n+1}) \leqslant \cdots 。随着下标增大，C_n的测度越来越大，趋向正无穷大，并且\Omega = \bigcup_{n=1}^{\infty} C_n 。这称为全集的升序表示。而如果令：
:C_0 = \varnothing, \; \; \forall n \in \mathbb{N}, \; \; D_n = C_{n}\setminus C_{n-1}\in \mathcal{A}, ，
那么\left(D_n\right)_{n\in\mathbb{N}}也是一系列测度有限，并且两两不相交的集合（交集为空集），并且\Omega = \bigcup_{n=1}^{\infty} D_n 。\left(D_n\right)_{n\in\mathbb{N}}被称为全集的一个划分，或者称为全集的不交覆盖。
半有限和一致有限
与有限测度的概念相关的概念还有半有限测度和一致有限测度。一致有限测度是一类特殊的有限测度。它不仅要求全集\Omega能够表示为 \mathcal{A}中的可数个有限测度子集的并集：\Omega = \bigcup_{n=1}^{\infty} B_n ，而且要求存在一个正实数m，使得这些子集的测度（的绝对值）都小于等于m。
:\Omega = \bigcup_{n=1}^{\infty} B_n, \qquad B_n \in \mathcal{A}, \quad |\mu(B_n)|
勒贝格测度和自然数集上的计数测度都是一致有限测度。但并非所有的有限测度都是一致有限测度。比如说自然数集上如下定义的有限测度\mu_c：
: \forall E \in \mathbb{N}, \; \;\mu_c(E) = \sum_{k\in E} k
就不是一致有限测度。
半有限测度则是比有限测度更宽泛的一种定义。如果(\Omega, \mathcal{A})上的一个测度中，任意一个测度为无穷大的子集都包含有测度为任意大有限值的子集，那么就说这个测度是半有限测度。任何的有限测度都是半有限测度，只要考虑它的升序表示，但反之则不然。比如说实数集上的计数测度就是半有限测度，但它并不是有限测度。
与概率测度的等价性
给定(\Omega, \mathcal{A})，其上的任何有限测度\mu都等价于一个(\Omega, \mathcal{A})的概率测度。具体的构造方法是：令\left(B_n\right)_{n\in\mathbb{N}}为全集\Omega的一个不交覆盖（划分），并且每个B_n在\mu下的测度都是有限的；再令\left(\omega_n\right)_{n\in\mathbb{N}}为一个由正实数构成的数列，并且级数和
:\sum_{n = 1}^\infty w_n = 1.
那么以下方式定义的测度\nu：
:\forall A \in \mathcal{A}, \; \; \nu(A) = \sum_{n = 1}^\infty w_n \frac { \mu (A \cap B_n) } {\mu (B_n)}
就是一个与\mu等价的概率测度，因为两者有着相同的零测集。
参见
*富比尼定理
*叶戈罗夫定理
*拉东-尼科迪姆定理
参考资料
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