简单函数
简单函数（）又稱單純函數，是实分析中只取有限個實值的可测函数。 定义 集合 \Omega 上有Σ-代数 \Sigma ，若對函数 \Omega \to \R ，存在 A_1,\,A_2,\cdots,A_n\in\Sigma 和 a_1,\,a_2,\cdots,a_n\in\R，使得： :f(x)=\sum_{k=1}^n a_k {\mathbf 1}_{A_k}(x). 其中 {\mathbf 1}_{A} 代表集合 A 的指示函…
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指示函数
在集合論中，指示函数是定义在某集合X上的函数，表示其中有哪些元素属于某一子集A。指示函数有时候也称为示性函数或特征函数。 集X的子集A的指示函数是函数1_A : X \to \lbrace 0,1 \rbrace，定义为 : A的指示函数也记作\chi_A(x)\,或I_A(x)\,。 简单性质 把X的子集A对应到它的指示函数的映射是雙射，值域是所有函数f:X \to \{0,1\}的集合。 如果A和B是X的两个子集，那么 :1_{A\…
零测集
是由\mathbb R^2中的点构成的零测集]] 在数学分析中，零测集（）是一个测度为0的可测集，它可以被可数个测度为任意小的开区间的并集覆盖的集合。 零测集的概念不应与集合论中定义的空集混淆。空集的勒贝格测度为0，但也存在非空集的测度为0。例如，任何非空的可数实数集的勒贝格测度为零，因此它为零测集。 更一般的，给定测度空间M=\left( X,\Sigma, \mu \right)，零测集S\in\Sigma满足\mu(S)=0。 例…
雅卡尔指数
雅卡尔指数（），又称为交并比（）、雅卡尔相似系数（），是用于比较样本集的相似性与多样性的统计量。雅卡尔系数能够量度有限样本集合的相似度，其定义为两个集合交集大小与并集大小之间的比例： : J(A,B) = {\over} = {\over}. 如果A与B完全重合，则定义J(A,B) = 1。于是有 : 0\le J(A,B)\le 1. 雅卡尔距离（）则用于量度样本集之间的不相似度，其定义为1减去雅卡尔系数，即 : d_J(A,B) =…
简单匹配系数
简单匹配系数（，缩写），又称为兰德相似系数（），是用于比较样本信合之间相似性与多样性的统计量。 假设两个对象A与B分别有n个二值属性，则SMC的定义为： : \begin{align} \text{SMC} & = \frac{\text{匹 配 属 性 数 量}}{\text{属 性 总 数}} \\[8pt] & = \frac{M_{00}+M_{11}}{M_{00}+M_{01}+M_{10}+M_{11}} \end{ali…
沃瑟斯坦度量
沃瑟斯坦度量（）又称为沃瑟斯坦距离（）、坎托罗维奇–鲁宾施泰因度量（），在数学中是指某一给定度量空间M上概率分布之间的距离函数，其名称源于俄裔美国数学家。 直观而言，可以将每个概率分布都看作M上堆积的单位数量的土堆，则沃瑟斯坦度量便是指将一个土堆变成另一土堆的最小代价，可定义为需要移动的土壤量乘以需要移动的平均距离。这一问题于1781年由法国数学家加斯帕尔·蒙日首次正式提出。基于上述土堆类比，该度量在计算机科学中也被称为推土机距离。 “…
Σ环
σ环 （），是指在可列并运算和相对补集运算下封闭的非空集合。 定义 设 \mathcal{R} 是非空集合。若 \mathcal{R} 满足下列性质，则称其为σ环： 对可列并运算封闭： \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} \in \mathcal{R}，若对一切 n \in \N 满足A_{n} \in \mathcal{R} 对相对补集运算封闭： A \setminus B \in \mathcal{R}，若 A…
法图引理
在测度论中，法图引理（）说明了一个函数列的下极限的积分（在勒贝格意义上）和其积分的下极限的不等关系。法图引理的名称来源于法国数学家，被用来证明测度论中的法图-勒贝格定理和勒贝格控制收敛定理。 叙述 设(S,\Sigma,\mu)为一个测度空间， (f_n)_{n \ge 0}是一个实值的可测正值函数列。那么： : \int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty}…
叶戈罗夫定理
在测度论中，叶戈罗夫定理确立了一个可测函数的逐点收敛序列一致收敛的条件。这个定理以俄国物理学家和几何学家德米特里·叶戈罗夫命名，他在1911年出版了该定理。 叶戈罗夫定理与紧支撑连续函数在一起，可以用来证明可积函数的卢津定理。 定理的陈述 设(M,d)为一个可分度量空间（例如实数，度量为通常的距离d(a,b) = |a − b|）。给定某个测度空间(X,Σ,μ)上的M-值可测函数的序列(fn)，以及一个有限μ-测度的可测子集A，使得(f…
积分几何学
在数学领域，积分几何学最初被定义为研究在某一几何空间上，在该空间对称群作用下保持不变测度的理论。在近代，其涵义已有所拓宽，泛指一类从一个几何空间上的函数空间到另一个几何空间上的函数空间的不变或等变变换。这类变换通常以积分变换的形式出现，例如著名的拉东变换及其各种推广。
几何测度论
在数学中，几何测度论（Geometric Measure Theory，GMT）是一门通过测度论研究集合（通常位于欧几里得空间）几何性质的学科。该理论使数学家能够将微分几何中的工具推广应用到更广泛的曲面类别中，这些曲面不一定是光滑的。
计盒维数
在分形几何中, 计盒维数也称为盒维数、闵可夫斯基维数，是一种测量距离空间(X, d)（特别是豪斯多夫空间）比如欧氏空间 Rn 中分形维数的计算方法。 要计算分形 S 的维数，你可以想象一下把这个分形放在一个均匀分割的网格上，数一数最小需要几个格子来覆盖这个分形。通过对网格的逐步精化，查看所需覆盖数目的变化，从而计算出计盒维数。 假设当格子的边长是 ε 时，总共把空间分成 N 个格子，那么计盒维数就是： :\dim_{\rm box}(S…
魏尔施特拉斯函数
[[File:WeierstrassFunction.svg|300px|thumb|区间 [−2, 2] 上的魏尔施特拉斯函数。这个函数具有分形特性：某些部分会和整体自相似]] 数学中，魏尔施特拉斯函数（）是一类处处连续而处处不可导的实值病態函数，得名于十九世纪的德国数学家卡尔·魏尔施特拉斯。 历史上，魏尔施特拉斯函数是一个著名的数学反例。此前，对于函数的连续性，数学家的认识并不深刻。许多数学家认为除了少数一些特殊的点以外，连续的函数…
可测函数
可测函数（）是保持可测空间結構的函数，也是勒貝格積分中主要討論的函數。 正式定義 {{math theorem | name = 可測函數的定義 | math_statement = 設 (X,\Sigma_X) 與 (Y,\Sigma_Y) 為可测空间。那函数 f:X\to Y 對任意 B \in \Sigma_Y 若滿足： : f^{-1}(B) \in \Sigma_X 則稱 f 為一個 \Sigma_X - \Sigma_Y 可…
可测空间
可测空间（）是测度论的基本概念，由一个集合和基于这个集合定义的σ代数构成。
Σ-代数
在數學中，某個集合 X 上的 σ-代数（）又叫 σ-域（），是 X 的某群子集合所構成的特殊子集族。这个子集族对于補集运算和可數個聯集运算具有封闭性（因此对于可數個交集运算也是封闭的）。σ-代数在測度論裡可以用来定义所谓的“可测集合”，是测度论的基础概念之一。 σ-代数的概念大约起始于1900~1930年，它随着测度论的发展而逐渐清晰。最著名的 σ-代数是关于实数轴测度的波莱尔σ-代数（得名于法国数学家埃米·波莱尔），以及1901年亨利…
可加性
可加性是指对于某种变换来说，特定的“加法”和该变换的顺序可颠倒而不影响结果，这样一种性质。 例如对于两个实数 x 和 y，我们可以先执行加法 x+y、后把结果乘以二；也可以先各自乘以二然后再相加，两边结果是一样的。那么我们说变换“乘以二”具有可加性。 定义 一个函数f:A→B，其定义域A和陪域B上分别定义了某种加法+_A和+_B。若该函数满足：∀x,y∈A，有f(x+_Ay)= f(x)+_Bf(y)。则称f对于+_A和+_B满足可加性…
集合域
在集合代数中，域，或者代数，是指一种有序对\,(\Omega,\mathcal{F})\,，其中 \Omega 是集合，\,\mathcal{F}\, 是由集合 \Omega 的一些子集构成的一种集类，它满足 \Omega 自身是它的元素，且对加法（有限并）封闭和乘法（有限交）及逆（余集）运算封闭。在这样的集类中，空集类似于 0，因为和它相加（并）的任何集合结果还是自身；全集相当于 1，因为和它相乘（交）的任何集合还是自身。 也可把满足…
拉东-尼科迪姆定理
拉东-尼科迪姆定理是数学中测度论里的一个结果。拉东-尼科迪姆定理说明了在给定了一个测度空间(X,\Sigma)的时候，如果测度空间(X,\Sigma)上的一个σ-有限测度\nu关于另一个σ-有限测度\mu绝对连续，那么存在一个在X上可测的函数f，其取值范围为非负实数（[0,\infty)），并且对所有的可测集合A，都有： :\nu(A) = \int_A f \, d\mu 这个定理得名于数学家约翰·拉东以及。拉东在1913年证明了这个…
康托尔集
在数学中，康托尔集（）由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入（但由在1875年发现），是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。 康托尔集的构…