可加性

可加性是指对于某种变换来说，特定的“加法”和该变换的顺序可颠倒而不影响结果，这样一种性质。

例如对于两个实数 x 和 y，我们可以先执行加法 x+y、后把结果乘以二；也可以先各自乘以二然后再相加，两边结果是一样的。那么我们说变换“乘以二”具有可加性。
定义
一个函数f:A→B，其定义域A和陪域B上分别定义了某种加法+_A和+_B。若该函数满足：∀x,y∈A，有f(x+_Ay)= f(x)+_Bf(y)。则称f对于+_A和+_B满足可加性。在上下文对于+_A和+_B都很明确的情况下，通常简称为 f 满足可加性，亦称f为可加函数。

若上述函数f满足：∀有限集\{x_i|x_i \in A,i=1\cdots n\}，有f \left( \sum_{k=1}^n x_i \right) = \sum_{k=1}^n f(x_i)，则称f满足有限可加性。

若上述函数f满足：∀可列集\{x_i|x_i \in A,i=1\cdots \infty\}，有f \left( \sum_{k=1}^\infty x_i \right) = \sum_{k=1}^\infty f(x_i)，则称f满足可列可加性。
示例
*定积分的可加性：设 a\leqslant b\leqslant c，那么\int_{a}^{b} f(x)\operatorname{d}\!x + \int_{b}^{c} f(x)\operatorname{d}\!x = \int_{a}^{c} f(x)\operatorname{d}\!x——积分区间是可加的。
*集函数的可加性：定义域为集类S，值域为[0, ∞]上的广义实值集函数f，若：
**\forall A, B \in S，有f(A \cup B) = f(A) + f(B)，则称f为可加的。
**\forall {A_i} \in S, i=1\cdots n，有f\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) = \sum_{i=1}^{n} f(A_i)，则称f为有限可加的。
**\forall {A_i} \in S, i=1\cdots \infty，有f\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} f(A_i)，则称f为可列可加的。