可测函数（）是保持可测空间結構的函数，也是勒貝格積分中主要討論的函數。

正式定義
{{math theorem
| name = 可測函數的定義
| math_statement = 設 (X,\Sigma_X) 與 (Y,\Sigma_Y) 為可测空间。那函数 f:X\to Y 對任意 B \in \Sigma_Y 若滿足：

: f^{-1}(B) \in \Sigma_X

則稱 f 為一個 \Sigma_X - \Sigma_Y 可測函數。
}}

重要範例
實可測函數
取本節定義中的 Y 為实数系 \R ，然後取：

: \mathcal{I} = \bigg\{ A \in \mathcal{P}(\R)
\,\bigg|\,
(\exists a)(\exists b)\left[\,
(a,\,b \in \R) \wedge
(A = (a,\,b))
\,\right]
\bigg\}
: \mathcal{B}_{\R}
:= \sigma(\mathcal{I})
= \bigcap \bigg\{ \Sigma
\,\bigg|\,
(\Sigma\text{ is a sigma algebra.}) \wedge
(\mathcal{I} \subseteq \Sigma)
\bigg\}

換句話說，\mathcal{B}_{\R} 是由實數開區間所生成的博雷爾代數（注意到 \mathcal{I} 本身是個拓扑基），那麼這樣的\Sigma_X - \mathcal{B}_{\R} 可測函數 f ，通常會簡稱為 \Sigma_X - 實可測函數；甚至簡稱為實可測函數。概率论裡的随机变量就是實可測函數。

博雷爾函数
如果(X,\tau_X) 與 (Y,\tau_Y) 正好也是拓撲空間，這時取以下兩個最小σ-代数：

: \sigma(\tau_X)
= \bigcap \bigg\{ \Sigma
\,\bigg|\,
(\Sigma\text{ is a sigma algebra.}) \wedge
(\tau_X \subseteq \Sigma)
\bigg\}
: \sigma(\tau_Y)
= \bigcap \bigg\{ \Sigma
\,\bigg|\,
(\Sigma\text{ is a sigma algebra.}) \wedge
(\tau_Y \subseteq \Sigma)
\bigg\}

換句話說，\sigma(\tau_X) 是由 X 上开集所生成的博雷爾代數；\sigma(\tau_Y) 是由 Y 上开集所生成的博雷爾代數，那這樣 \sigma(\tau_X) - \sigma(\tau_X) 可测函数 f 又称为 \tau_X - \tau_Y 博雷爾函数（Borel function）。

根據拓撲空間连续函數的定義， \tau_X - \tau_Y 博雷爾函数必定 \tau_X - \tau_Y 連續，但反之不成立，原因可見下面可测函数的性质的定理(2)。

可测函数的性质
{{math theorem
| name = 定理(1)
| math_statement = 設 (X,\Sigma_X) 為可测空间， Y 為一集合，且有函数 f:X\to Y 。那
: \Sigma =
\left\{
B\in \mathcal{P}(Y) \,\big|\,
f^{-1}(B) \in \Sigma_X
\right\}

為 Y 的σ代數。
}}

{{math theorem
|name=定理(2)
|math_statement=
(X,\Sigma_X) 為可测空间 ，\mathcal{F}_Y \subseteq \mathcal{P}(Y) 是集合 Y 的一個子集族 ，那對函数 f:X\to Y 來說，以下兩敘述等價：

對所有 B \in \mathcal{F}_Y 有 f^{-1}(B) \in \Sigma_X

f 是 \Sigma_X - \sigma(\mathcal{F}_Y) 可測函數

}}

*两个可测的实函数的和与积也是可测的。
*可数个實可测函数的最小上界也是可测的。
*可测函数的逐点极限是可测的。（连续函数的对应命题需要比逐点收敛更强的条件，例如一致收敛。）
*卢辛定理

勒贝格可测函数
勒贝格可测函数是一个实函数f : R → R，使得对于每一个实数a，集合
:\{x \in \R : f(x)>a \}
都是勒贝格可测的集合。勒贝格可测函数的一个有用的特征，是f是可测的当且仅当mid{-g,f,g}对于所有非负的勒贝格可积函数g都是可积的。

不可测函数
不是所有的函数都是可测的。例如，如果A是实数轴\R的一个不可测子集，那么它的指示函数1_A(x)是不可测的。

参见
*可测函数的向量空间：L^p空间
*保测动态系统

参考文献