康托尔函数
[[File:CantorFunction.svg|300px|right|thumb|区间[0,1]上的康托尔函数]] 在数学中，以数学家格奥尔格·康托尔命名的康托尔函数，是一个一致连续，却不绝对连续的函数。 定义 康托尔函数 c : [0,1] → [0,1] ，对于x∈[0,1]，其函数值c(x)可由以下步骤得到： 以三进制表示x。 如果x中有数字1，就将第一个1之后的所有数字换成0。 将所有数字2换成数字1。 以二进制读取转换之…
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共 57 篇文章
Dice系数
戴斯系数（Dice coefficient），也称索倫森-戴斯系数（Sørensen–Dice coefficient），取名於和，是一种集合相似度度量函数，通常用于计算两个样本的相似度： :s = \frac{2 | X \cap Y |} 它在形式上和Jaccard指数没多大区别，但是有些不同的性质。 和Jaccard类似，它的范围为0到1。 与Jaccard不同的是，相应的差异函数 :d = 1 - \frac{2 | X \ca…
适应过程
适应过程是随机过程研究中常见的概念，表示不能“预见未来”的随机过程。非正式的数学解释是，一个随机过程是适应于某个参考族的，当且仅当在任意的特定时刻，随机过程都是可测的。适应过程是随机过程理论中很多重要概念的基础。比如说能够定义伊藤积分的随机过程就需要是适应过程。 定义 设有 概率空间(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})； 测度空间(S, \mathcal{A})，状态空间； 有序的指标集T： 可以是非负实数…
计数测度
在测度论中，计数测度是可以定义在任意集合上的测度，它将每个集合含有的元素个数作为这个集合的测度。准确来说，对于任何一个可测空间\left ( \Omega , \mathcal F\right)，我们都可以定义这个可测空间上的测度\mu，使得对于任意可测集E\in \mathcal{F}，\mu ( E )就是集合E中含有的元素个数，即 \mu(E)=\begin{cases} \vert E \vert & \vert E \vert…
矩問題
数学上，矩问题詢問是否可以由一個测度 μ 的矩序列 :m_n = \int_{-\infty}^\infty x^n \,d\mu(x)\, 確定該測度。更一般地，亦可考虑序列 :m_n = \int_{-\infty}^\infty M_n(x) \,d\mu(x)\,. 其中 Mn 為任意一列函數。 簡介 最典型的例子中，μ 取為實數線上的測度，並取 M 為序列 {xn : n = 0, 1, 2, ... }. 此種矩问题源自概率…
维塔利集合
维塔利集合是一个勒贝格不可测的集合的例子，以朱塞佩·维塔利命名。维塔利定理就是关于这种集合存在與否的存在性定理，它是一个非构造性的结果。维塔利集合有无穷多个，它们的存在性是在选择公理的假设下证明的。 不可测集的重要性 有些集合有确定的“长度”或“质量”。例如，区间[0, 1]具有长度1；更一般地，区间[a, b]，其中a ≤ b，具有长度b − a。如果我们把这种区间视为金属棒，则它们有确定的质量。如果[0, 1]的棒重1千克，则[3,…
波莱尔-坎泰利引理
波莱尔－坎泰利引理是概率论中的一个基本结论。大致上，波莱尔－坎泰利引理说明了，如果有无穷个概率事件，它们发生的概率之和是有限的，那么其中的无限多个事件一同发生的概率是零。这个定理实际上是测度论的结论在概率论中的应用，得名于数学家埃米尔·波莱尔与弗朗西斯科·保罗·坎泰利。 概率空间中的定理 设E_n为某个概率空间中的一个事件序列。波莱尔－坎泰利引理说明： 如果所有的事件E_n发生的概率\mathbb{P}的总和是有限的， :\sum_{n…
循序可测过程
在数学中，循序可测是随机过程的一种性质。循序可测性质是随机过程研究中用到的一种重要性质，能够保证停过程的可测性。循序可测性比随机过程的适应性更加严格。循序可测过程在伊藤积分理论中有重要应用。 定义 设有 概率空间(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})； 测度空间(\mathbb{X}, \mathcal{A})，状态空间； σ-代数\mathcal{F}上的参考族\{ \mathcal{F}_{t} | t …
连续集
连续集是测度论中的概念。给定测度\mu中的波莱尔集\mathbf{B}是连续集当且仅当： : |\mu|(\partial B) = 0\,. 在测度\mu上的所有连续集的集合构成一个环。 类似地，对一个给定的随机变量\mathbf{X}，一个波莱尔集\mathbf{B}是连续集，当且仅当 : \mathbb{P} (X \in \partial B) = 0, 否则称\mathbf{B}为不连续集。所有不连续集的集合是稀疏的。特别的，…
外测度
在数学中，特别是测度论中，外测度是一个定义在给定集合上的扩展实数值的函数，并满足几条附加条件。一般的外测度理论由C. Carathéodory引进，目的是给可测集和可数可加测度的理论建立基础。C. Carathéodory关于外测度上所做的工作应用于测度理论中的集合论上（例如外测度用于证明Carathéodory扩张定理）。豪斯多夫也用此来定义一个类似维数的度量，现在称为豪斯多夫维数。 从长度，面积及体积归纳出來的测度概念，对于很多抽象…
积测度
数学中，给出可测空间和其上的测度，可以获得积可测空间和其上的积测度。概念上近似于集合的笛卡儿积和两个拓扑空间的积拓扑。 设(X_1, \Sigma_1)和(X_2, \Sigma_2)是两个测度空间，就是说\Sigma_1和\Sigma_2分别是在X_1和X_2上的σ代数，又设\mu_1和\mu_2是其上的测度。以\Sigma_1 \times \Sigma_2记形如B_1 \times B_2的子集产生的笛卡儿积X_1 \times …
史密斯-沃尔泰拉-康托尔集
在数学中，史密斯-沃尔泰拉-康托尔集（SVC），胖康托尔集，或ε-康托尔集是实直线 ℝ 上的无处稠密点集（不包含任何区间），同时具有非零测度。史密斯-沃尔泰拉-康托尔集得名于数学家亨利·史密斯，维多·沃尔泰拉和乔治·康托尔。它同胚于康托尔三分点集，也是一个分形。 构造 类似于康托尔集，史密斯-沃尔泰拉-康托尔集也是通过从单位区间 [0, 1] 移除某些区间进行构造。 第一步先移除区间 [0, 1] 的中间1/4（也就是移除中点1/2处两…
调和测度
數學中，調和測度是調和函數理論中出現的一個概念。给定了一个解析函数的模在一个区域 D 边界上的界，能用调和测度去估计函数在区域内部的模。在一个非常相关的领域，一个伊藤扩散 X 的调和测度描绘了 X 撞击 D 边界的分布。 定義 设 D 是 n-维欧几里得空间中一个有界开区域，n ≥ 2，记 ∂D 为 D 的边界。任何连续函数 f : ∂D → R 惟一确定一个调和函数 Hf 满足狄利克雷问题： :\begin{cases} - \Del…
博雷尔可测函数
博雷尔可测函数是测度论中的概念. 定义 \mathbb{R}是包含连续函数的集族，\hat{C}是在\mathbb{R}上的实值函数中的最小族，且\hat{C}逐点极限封闭。则将\hat{C}中的成员成为博雷尔可测函数。
若尔当测度
若尔当测度（英語：Jordan measure）是面積測度方式，數學家卡米尔·若尔当所提出。设E是R^{n}中的一个有界集，而f是在E上取值为1的函数，如果f在E上可积，则称E为Jordan可测的（可求体积的）。并且记\int_{E}^{ }1dx=\mu \left(E \right)，称为E的Jordan测度，也就是E的体积。
内测度
在测度论中，内测度是定义在某个给定的集合的幂集上的一个函数，满足一些限制。内测度可以直观地理解为一个集合大小的下界。 定义 内测度是一个对某个集合的所有子集有定义的一个函数 :\varphi: 2^X \rightarrow [0, \infty], 满足下列条件: 空集: 空集的内测度为 0。 :: \varphi(\varnothing) = 0 超加性：对两个交集为空的集合和，有 :: \varphi( A \cup B) \ge…
勒贝格点
在數學的實分析中，一個函數f的定義域上的一點，稱為勒貝格(Lebesgue)點，大約是指在該點附近可以取任意小的鄰域，使得f在這鄰域上的平均，非常接近f在該點的值。 定義 若\mu是\mathbb R^n上的拉东测度，f:\mathbb R^n \to \mathbb R，1 \leq p ，f \in L^p_\mathrm{loc}(\mathbb R^n,\mu)，即|f|^p是局部可積函數，那么若点x适合 : \lim_{r \…