适应过程

适应过程是随机过程研究中常见的概念，表示不能“预见未来”的随机过程。非正式的数学解释是，一个随机过程是适应于某个参考族的，当且仅当在任意的特定时刻，随机过程都是可测的。适应过程是随机过程理论中很多重要概念的基础。比如说能够定义伊藤积分的随机过程就需要是适应过程。

定义
设有

• 概率空间(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})；
• 测度空间(S, \mathcal{A})，状态空间；
• 有序的指标集T： 可以是非负实数集[0, \infty)、有限时间集[0, T_0]或离散时间\mathbb{N}；
• σ-代数\mathcal{F}上的参考族\mathbb{F} = \{ \mathcal{F}_{t} | t \in T \}；
• 随机过程X : T \times \Omega \to \mathbb{X} = \left( X_t \right)_{t\in T} 。

则随机过程\left( X_t \right)_{t\in T}是适应过程（适应于\mathbb{F}的随机过程）当且仅当对任意的时刻t \in T，映射：X_t: \Omega \to S都是(\mathcal{F}_t, \mathcal{A} )-可测的随机变量。

适应过程的定义说明，如果一个过程适应于某个参考族\mathbb{F} = \{ \mathcal{F}_{t} | t \in T \}，那么在任意一个特定的时刻，我们掌握的信息都包括了这个过程。也就是说这个过程在任意时刻的结果必然在该时刻可知。但一般来说，适应过程在任意时刻的结果并不能提前预知。如果一个（离散的）随机过程在时刻t=n的结果能够在t=n-1的时刻已知，那么这个过程被称为在参考族\mathbb{F}中可预测。可预测的随机过程必然适应于参考族，反之则不然。

例子
设状态空间(S, \mathcal{A})为实数及其波莱尔σ-代数(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))。设指标集为连续的：T = [0, \infty). 给定一个随机过程X = \left( X_t \right)_{t\in T}，如果考虑过程X产生的自然参考族： \tilde{\mathcal{F}}^X = \{ \tilde{\mathcal{F}}_{t}^X | t \in T \}
:\tilde{\mathcal{F}}_{t}^X = \sigma \left( X_s \, ; \, \, 0 \leqslant s \leqslant t \right) = \sigma \left(\left\{ X_s^{(-1)}(H) \, | \, 0 \leqslant s \leqslant t , \, \, H \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right\}\right)
那么X当然是适应于 \tilde{\mathcal{F}}^X的过程，因为在每个时刻，X都是\tilde{\mathcal{F}}_{t}^X-可测的随机变量。自然参考族也是能使得X为适应变量的“最小”参考族。X适应于某个参考族 \mathcal{F}^r = \{ \mathcal{F}_{t} | t \in T \}，当且仅当在任何时刻t \in T，\tilde{\mathcal{F}}_{t}^X \subseteq \mathcal{F}_{t}.

设X = \left( X_n \right)_{n\in \mathbb{N}}是某彩票每期的开奖结果，那么X是一个适应随机过程，但不可能是一个可预测过程。

参考来源