积测度

数学中，给出可测空间和其上的测度，可以获得积可测空间和其上的积测度。概念上近似于集合的笛卡儿积和两个拓扑空间的积拓扑。

设(X_1, \Sigma_1)和(X_2, \Sigma_2)是两个测度空间，就是说\Sigma_1和\Sigma_2分别是在X_1和X_2上的σ代数，又设\mu_1和\mu_2是其上的测度。以\Sigma_1 \times \Sigma_2记形如B_1 \times B_2的子集产生的笛卡儿积X_1 \times X_2上的σ代数，其中B_1 \in \Sigma_1及B_2 \in \Sigma_2。

积测度\mu_1 \times \mu_2定义为在可测空间(X_1 \times X_2, \Sigma_1 \times \Sigma_2)上唯一的测度，适合

: (\mu_1 \times \mu_2)(B_1 \times B_2) = \mu_1(B_1) \mu_2(B_2)

对所有

: B_1 \in \Sigma_1,\ B_2 \in \Sigma_2。

事实上对所有可测集E，

:(\mu_1 \times \mu_2)(E) = \int_{X_2} \mu_1(E_y)\,\mu_2(dy) = \int_{X_1} \mu_2(E_{x})\,\mu_1(dx)，

其中E_x=\{y\in X_2 | (x,y) \in E\}，E_y=\{x\in X_1 | (x,y) \in E\}，两个都是可测集。

这测度的存在性和唯一性是得自哈恩-柯尔莫哥洛夫定理.

欧几里得空间Rn上的博雷尔测度可得自n个实数轴R上的博雷尔测度的积。

參考文獻