循序可测过程

在数学中，循序可测是随机过程的一种性质。循序可测性质是随机过程研究中用到的一种重要性质，能够保证停过程的可测性。循序可测性比随机过程的适应性更加严格。循序可测过程在伊藤积分理论中有重要应用。

定义
设有

• 概率空间(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})；
• 测度空间(\mathbb{X}, \mathcal{A})，状态空间；
• σ-代数\mathcal{F}上的参考族\{ \mathcal{F}_{t} | t \geqslant 0 \}；
• 随机过程X : T=[0, \infty) \times \Omega \to \mathbb{X} = \left( X_t \right)_{t\in T} （指标集T也可以是有限时间[0, T_0]或离散时间\mathbb{N}）。

则随机过程\left( X_t \right)_{t\in T}是循序可测过程当且仅当对任意的时刻t\in T，映射
:X\left|_{[0,t]} : \, \, [0, t] \times \Omega \, \, \longrightarrow \, \, \mathbb{X} \right.
::::(s, \omega) \quad \mapsto \, \, X_{s}(\omega)
都是 \mathrm{Borel}([0, t]) \otimes \mathcal{F}_{t}-可测的。\left( X_t \right)_{t\in T}是循序可测过程可以推出它必然是适应过程。

子集P \subseteq [0, \infty) \times \Omega是循序可测集合当且仅当指示过程：
:X_{s} (\omega) := \mathbf{1}_{P} (s, \omega)

是循序可测过程。所有循序可测的子集P构成[0, \infty) \times \Omega上的一个σ-代数，一般记为\mathrm{Prog}。一个随机过程\left( X_t \right)_{t\in T}是循序可测过程当且仅当它（在被看作[0, \infty) \times \Omega上的随机变量时）是\mathrm{Prog}-可测的。

性质
*如果一个适应随机过程是左连续或右连续的，那么它是循序可测过程。特别地，左极限右连续的适应随机过程是循序可测过程。
*设W = \left(W_{t} (\omega) \, ; \, \, t \in T , \, \omega \in \Omega \right)是一维的标准布朗运动过程，H = \left(H_{t} (\omega) \, ; \, \, t \in T , \, \omega \in \Omega \right)为关于W的参考族\{ \mathcal{F}_{t}^W\}的（实值的）循序可测过程，并且满足 \mathbb{E}[\int_T H(t)^2 \mathrm{d}t] ，那么我们可以定义H关于W的随机积分： \int_T H(t) \mathrm{d}W_t ，而且满足
*: \mathbb{E}\left[\left(\int_T H(t) \mathrm{d}W_t\right)^2\right] = \mathbb{E}\left[\int_T H(t)^2 \mathrm{d}t\right]. 。
*一个随机过程X = \left(X_{t} (\omega) \, ; \, \, t \in T , \, \omega \in \Omega \right)的修正（）是指另一个随机过程Y = \left(Y_{t} (\omega) \, ; \, \, t \in T , \, \omega \in \Omega \right)，满足\forall t \in T, \, \, \mathbb{P}(X_t = Y_t) = 1. 可以证明，尽管不是每个可测的适应随机过程都是循序可测的，但必然拥有一个循序可测的修正。

参见

• 圖模式
• 马尔可夫链
• 马尔可夫逻辑网络

*适应过程
*可预测过程

参考来源