波莱尔-坎泰利引理

波莱尔－坎泰利引理是概率论中的一个基本结论。大致上，波莱尔－坎泰利引理说明了，如果有无穷个概率事件，它们发生的概率之和是有限的，那么其中的无限多个事件一同发生的概率是零。这个定理实际上是测度论的结论在概率论中的应用，得名于数学家埃米尔·波莱尔与弗朗西斯科·保罗·坎泰利。

概率空间中的定理
设E_n为某个概率空间中的一个事件序列。波莱尔－坎泰利引理说明：
如果所有的事件E_n发生的概率\mathbb{P}的总和是有限的，

:\sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}(E_n)

那么它们之中有无限多个同时发生的概率等于零：

::\mathbb{P} \left(\limsup_{n\to\infty} E_n\right) = 0\,

其中的 \limsup \,是指一个事件序列的上极限。由于每一个事件都是若干个可能结果的集合，所以 \limsup E_n \,就是指使得序列E_n(\omega)里面有无限多个事件一起发生的結果（outcome，或稱樣本輸出）\omega的集合。准确来说，

:\limsup_{n\to\infty} E_n = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} E_k。

证明
设(En)是某个概率空间里的一系列事件。假设这些事件发生的概率之和是有限的：

:\sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}(E_n)。

这等价于说，正项无穷级数\left( \mathbb{P}(E_n) \right)_{n \ge 1}收敛。所以，根据无穷级数的性质，级数的余项\sum_{n=N}^\infty \mathbb{P}(E_n)的下极限是0：

: \inf_{N\geq 1} \sum_{n=N}^\infty \mathbb{P}(E_n) = 0. \,

因此，
:
\mathbb{P}\left(\limsup_{n\to\infty} E_n\right) = \mathbb{P} \left(\bigcap_{N=1}^\infty \bigcup_{n=N}^\infty E_n\right)
\leq \inf_{N \geq 1} \mathbb{P} \left( \bigcup_{n=N}^\infty E_n\right) \leq \inf_{N\geq 1} \sum_{n=N}^\infty \mathbb{P}(E_n) = 0

推广
对于更一般的概率空间，波莱尔－坎泰利引理可以叙述如下：

:设μ是一个集合X上的测度，装备了σ-代数F。设(An)为F中的一个序列。如果：

::\sum_{n=1}^\infty\mu(A_n)

:那么，

::\mu\left(\limsup_{n\to\infty} A_n\right) = 0\,
参考来源
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• Durrett, Rick. "Probability: Theory and Examples." Duxbury advanced series, Third Edition, Thomson Brooks/Cole, 2005.