在数学中，特别是测度论中，外测度是一个定义在给定集合上的扩展实数值的函数，并满足几条附加条件。一般的外测度理论由C. Carathéodory引进，目的是给可测集和可数可加测度的理论建立基础。C. Carathéodory关于外测度上所做的工作应用于测度理论中的集合论上（例如外测度用于证明Carathéodory扩张定理）。豪斯多夫也用此来定义一个类似维数的度量，现在称为豪斯多夫维数。

从长度，面积及体积归纳出來的测度概念，对于很多抽象不规则的集合是很有用的。我们希望定义一个广义的测度函数\varphi,使其滿足以下4个条件：

任意实数区间 [a,b]有测度b-a；

測度函數 \varphi是非負扩展实数值函數，定义在\mathbb{R}的所有子集合上；

平移不变性：任给集合A和实数x，A与A+x 有相同的测度(这里，A+x=\{a+x: a\in A\}）；

可数可加律：对X的任意的两两无交的子集序列\{A_j\}，有：

:: \varphi\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \varphi(A_i)。
事实上，这几条要求是不相容的。这样的測度函數 \varphi不能定义在\mathbb{R}的所有子集上，也就是说，不可测集是存在的。构造外测度的目的就是选出那些可测集合，使得可数可加性得到满足。

定義
外測度是从 X 的冪集合映到 [0, \infty] 的函數

:\varphi: 2^X \rightarrow [0, \infty]

且滿足以下條件：

*空集合的外測度為零：

: \varphi(\varnothing) = 0

• 单调性：

: A \subseteq B \Rightarrow \varphi(A) \leq \varphi(B)

• 次可加性: 对 X 的任意子集序列 \{A_j\}（不管兩兩交集是否空集合）

: \varphi\left(\bigcup_{j=1}^\infty A_j\right) \leq \sum_{j=1}^\infty \varphi(A_j)

接著可以借由外測度來定义 X 中的可測集合：子集合 E\subseteq X 是 \varphi -可测的，当且仅当对 X 的任意子集合 A 有：

: \varphi(A) = \varphi(A \cap E) + \varphi(A \cap E^c).

所有的 \varphi-可测集合构成了一个\sigma-代数 ，且如果 \varphi限制在我們剛定義的可测集合上時，\varphi 會有可数可加的完备测度性質。这个方法是Carathéodory构造出来的，是构造勒贝格测度和积分理论的重要方法。

外測度与拓撲學
假設 (X,d)是一個度量空間且 \varphi 是一個在 X之上的外測度。若 \varphi 有以下性質 ：

只要

: d(E,F) = \inf\{d(x,y): x \in E, y \in F\} > 0,

就有

: \varphi(E \cup F) = \varphi(E) + \varphi(F)

那么称\varphi 是一个度量外测度。

如果\varphi 是X上的度量外测度，那么X的每个Borel子集都是\varphi -可测的。

外測度的构造
有几种方法来构造一个集合上的外测度。下面两种是特别有用的。

令X为一集合，C是X的包含空集的子集族，p是C上的非负扩展实数值函数，且p 在空集处取零。

那么定义

: \varphi(E) = \inf \biggl\{ \sum_{i=0}^\infty p(A_i)\,\bigg|\,E\subseteq\bigcup_{i=0}^\infty A_i,\forall i\in\mathbb N , A_i\in C\biggr\}

则 \varphi 是一个外测度。

另一种方法在度量空间上更有效，因为它直接得到了度量外测度。设 (X,d)是一个度量空间，C是X的包含空集的子集族，p是C上的非负扩展实数值函数，且p在空集处取零。那么，对任意 \delta >0 ，令

:C_\delta= \{A \in C: \operatorname{diam}(A) \leq \delta\}

及

: \varphi_\delta(E) = \inf \biggl\{ \sum_{i=0}^\infty p(A_i)\,\bigg|\,E\subseteq\bigcup_{i=0}^\infty A_i,\forall i\in\mathbb N , A_i\in C_\delta\biggr\}.

对\delta \leq \delta' 有\varphi_\delta \geq \varphi_{\delta'} 成立，因为\delta 减小时，下确界是在更小的集合上取得的。所以

: \lim_{\delta \rightarrow 0} \varphi_\delta(E) = \varphi_0(E) \in [0, \infty]

存在（可能是无穷大）。

这样构造的\varphi_0是一个度量外测度。这个构造也就是定义豪斯多夫维数时用的外测度。

參考

• P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950

• M. E. Munroe, Introduction to Measure and Integration, Addison Wesley, 1953