拉东-尼科迪姆定理

拉东-尼科迪姆定理是数学中测度论里的一个结果。拉东-尼科迪姆定理说明了在给定了一个测度空间(X,\Sigma)的时候，如果测度空间(X,\Sigma)上的一个σ-有限测度\nu关于另一个σ-有限测度\mu绝对连续，那么存在一个在X上可测的函数f，其取值范围为非负实数（[0,\infty)），并且对所有的可测集合A，都有：
:\nu(A) = \int_A f \, d\mu
这个定理得名于数学家约翰·拉东以及。拉东在1913年证明了这个定理在背景空间为R^N时的情况；尼科迪姆则在1930年证明了定理的一般情形。1936年，将这个定理推广，证明了里斯空间理论中的弗洛依登萨谱定理。拉东·尼科迪姆定理是后者的一个特例。

拉东-尼科迪姆导数是
:f = \frac{d\nu}{d\mu}

属性
Bermudez et al. (2025) 标准化了以下属性的证明。

• \lambda几乎处处： \frac{d(\nu+\mu)}{d\lambda} = \frac{d\nu}{d\lambda}+\frac{d\mu}{d\lambda}.
• 若 ν ≪ μ ≪ λ, 则 \lambda几乎处处：\frac{d\nu}{d\lambda}=\frac{d\nu}{d\mu}\frac{d\mu}{d\lambda}.
• 若 μ ≪ ν 以及 ν ≪ μ, 则 \nu几乎处处： \frac{d\mu}{d\nu}=\left(\frac{d\nu}{d\mu}\right)^{-1}.
• 若 μ ≪ λ 则 \int_X g\,d\mu = \int_X g\frac{d\mu}{d\lambda}\,d\lambda.
• {d|\nu|\over d\mu} = \left|{d\nu\over d\mu}\right|.

参考来源