局部可积函数

在数学中，局部可积函数是指在定义域内的所有紧集上都可积的函数。

常见定义
设\Omega为欧几里得空间\mathbb{R}^n中的一个开集。设\scriptstyle f:\Omega\to\mathbb{C}是一个勒贝格可测函数。如果函数f在任意紧集K\subset \Omega上的勒贝格积分都存在：

: \int_K | f| \mathrm{d}x

那么就称函数f为一个\Omega-局部可积的函数。所有在\Omega上局部可积的函数的集合一般记为\scriptstyle L^1_{loc}(\Omega)：

:L^1_{loc}(\Omega)=\left\{f:\Omega\to\mathbb{C},\right. 可测\left.\left|\ f\in L^1(K),\ \forall K\in {\mathcal{P}_0(\Omega)}\right.\right\}

其中\scriptstyle{\mathcal{P}_0(\Omega)}指\Omega包含的所有的紧集的集合。

一般测度空间
对于更一般的测度空间(X, d\mu)，也可以类似地定义其上的局部可积函数。

性质
*所有\Omega上的连续函数与可积函数都是\Omega-局部可积的函数。如果\Omega是有界的，那么\Omega上的L2函数也是\Omega-局部可积的函数。
*局部可积函数都是几乎处处有界的函数(X, d\mu)，也可以类似地定义其上的局部可积函数。
*复数值的函数f是局部可积函数，当且仅当其实部函数 Re(f) : x \to Re \left(f(x)\right)与虚部函数 Im(f) : x \to Im \left(f(x)\right)都是局部可积函数。实数值的函数f是局部可积函数，当且仅当其正部函数 f_{+} : x \to \left(f(x)\right)_{+}与负部函数 f_{-} : x \to \left(f(x)\right)_{-}都是局部可积函数。

相关条目
*广义函数
*测试函数

参考来源