数学分析中，哈尔测度是赋予之子集一个“不变体积”并从而定义那些群上的函数的一个积分的一种方法。
这个测度由匈牙利数学家哈爾·阿爾弗雷德于1933年发明 。哈尔测度用于数学分析，数论，群论，表示论，估计理论和遍历理论的很多方面。
预备知识
对于一个局域紧豪斯多夫拓扑群（G,・） ，其所有的紧子集生成的σ-代数被称为博雷尔代数，博雷尔代数的元素即为博雷尔集。对于群G的元素g和子集S，可以定义S的左陪集和右陪集：
- 左陪集:
:: g S = \{g.s\,:\,s \in S\}
- 右陪集:
:: S g = \{s.g\,:\,s \in S\}
博雷尔集的左/右陪集是博雷尔集。
对于一个作用于G的博雷尔子集上的测度μ，如果其对所有的博雷尔子集S和所有的g都满足
: \mu(g S) = \mu(S). \quad
则称这个测度μ是左不变的。相应可以定义右不变性。
哈尔定理
考虑G的博雷尔子集上的满足如下性质的可数可加测度μ：
- 对任意的g和博雷尔子集E，μ是左变换不变的:
:: \mu(gE) = \mu(E)
- 对所有的紧集K，μ是有限的:
:: \mu(K)
- 在博雷尔集E上μ是外正则(outer regular)的:
:: \mu(E) = \inf \{\mu(U): E \subseteq U, U \text{ open and Borel}\}
- 在开集E上μ是内正则(inner regular)的:
:: \mu(E) = \sup \{\mu(K): K \subseteq E, K \text{ compact}\}
那么如果要求这个测度是非平凡的，那么它是唯一的——至多相差一个正因子。这个测度μ便被称为左哈尔测度。 特别的，如果G是紧的，那么μ(G)将是有限正值，进而总可以通过设定一归一条件μ(G) = 1来唯一确定一个G上的左哈尔测度。
左哈尔测度对于所有的σ-有限博雷尔集都满足内正则条件，但此条件却未必对所有博雷尔集成立。
左哈尔测度的存在性和唯一性（相差一个因子的意义下）的首个完整证明是由André Weil给出。Weil的证明采用了选择公理，之后Henri Cartan在避免使用此公理的情况下同样完成了证明。1963年Alfsen对Cartan的论证给出了简化而全面的表述。对于第二可数空间局部紧群的不变测度也于1933年被Haar证明。
右哈尔测度
同样可以证明存在一个唯一（相差一个正因子的意义下）的右变换不变的博雷尔测度ν满足上面的正则条件且在紧致集合上有限，但并不要求它与左变换不变的哈尔测度μ相同。仅对于幺模群(unimodular groups)左哈尔测度与右哈尔测度才相同。ν和μ之间也有些简单的关系。
对一博雷尔集 S, 记其中每一个元素的逆的集合为S^{-1}，如果定义
: \mu_{-1}(S) = \mu(S^{-1}) \quad
那么这个 \mu_{-1}便构成一个右哈尔测度。其右变换不变性表现如下：
: \mu_{-1}(S g) = \mu((S g)^{-1}) = \mu(g^{-1} S^{-1}) = \mu(S^{-1}) = \mu_{-1}(S). \quad
又因为右测度是唯一的，因此对于所有博雷尔集合S，μ-1和ν相差一个正因子k，满足：
:\mu(S^{-1})=k\nu(S)\,
哈尔积分
用通常的勒贝格积分理论，便可定义所有在G上博雷尔可测的函数f的积分。这个积分便是哈尔积分。
设μ是一个左哈尔测度，那么对任一哈尔可积函数f与G中元素s，都有
: \int_G f(sx) \ d\mu(x) = \int_G f(x) \ d\mu(x).
参考文献
- Paul Halmos, Measure Theory, D. van Nostrand and Co., 1950.
- Lynn Loomis, An Introduction to Abstract Harmonic Analysis, D. van Nostrand and Co., 1953.
- André Weil, Basic Number Theory, Academic Press, 1971
参看
- 哈尔
- 哈尔小波
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