在数学中，复向量束是指其纤维为复向量空间的向量束。
任何复向量束都可以通过标量的限制来看作实向量束。相反，任何实向量束E可以复化提升为复向量束
: E \otimes \mathbb{C} ;
其纤维E_x\otimes_\R \C 。
复向量束的基本不变量是陈类。复向量束具有规范定向；具体而言，可以取其欧拉类。
如果复向量束满足以下条件，则该复向量束为全纯向量束： X是一个复流形，并且如果局部平凡化是双全纯的。
复结构
复向量束可以被认为是具有附加结构（即复结构）的实向量束。根据定义，复结构是实向量束之间的束映射E及其本身：
: J: E \to E
J 在纤维上作为 −1 的平方根 i 使得：如果 Jx:Ex→Ex 是纤维层面的映射，那么 J_x^2 = -1 是线性映射。如果 E 是复向量丛，那么复结构 J 可以通过设置 J_x 为标量乘以 i 来定义。反过来，如果 E 是具有复结构 J 的实向量丛，那么 E 可以通过设置以下方式转化为复向量丛：对于任何实数 a, b 和纤维 Ex 中的实向量 v，
: (a + \mathrm ib) v = a v + J(b v).
例子：实流形切束上的复结构M通常被称为殆复流形。 Newlander 和 Nirenberg 的定理指出，一个殆复流形J是“可积的”，因为它是由复流形的结构当且仅当涉及某个特定的张量J消失诱导得来的。
共轭束
如果E是复向量束，则共轭束\overline{E} E是通过复数作用于复数共轭得到的。因此，底层实向量束的恒等映射： E_{\mathbb{R}} \to \overline{E}_\mathbb{R} = E_{\mathbb{R}}是共轭线性的，并且E与其共轭同构为实向量束。
第k个陈类\overline{E}给出的是
: c_k(\overline{E}) = (-1)^k c_k(E) 。
特别地，E和一般不同构。
如果E具有厄米(Hermitian)度量，则共轭丛通过该度量同构于对偶丛E^* = \operatorname{Hom}(E, \mathcal{O})，其中我们用\mathcal{O} 表示平凡复线丛。
如果E是实向量束，那么E的复数化的底层实向量束是E的两个副本的直接和（因为对于任何实数向量空间V ，都有V ⊗ R C = V ⊕ i 。）：
: (E \otimes \mathbb{C})_{\mathbb{R}} = E \oplus E
如果复向量束E是实向量束E 的复化，则E 称为E的实数形式（可能不止一个实数形式）并且称E在实数上是有定义的。如果E具有实数形式，则E同构于它的共轭（因为它们都是实数形式的两个副本之和），因此E的奇数陈类是 2 阶的。
参见
- 全纯向量丛
- K理论
参考
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