完整群
微分几何中，一個微分流形上的联络的完整（，又譯和樂），描述向量繞閉圈平行移动一週回到起點後，與原先相異的現象。平聯絡的和樂是一種單值性現象，其於全域有定義。曲聯絡的和樂則有非平凡的局域和全域特點。 流形上任意一種聯絡，都可由其平行移動映射給出相應的和樂。常見的和樂由具有特定對稱的聯絡給出，例如黎曼几何中列维-奇维塔联络的和樂（稱為黎曼和樂）。向量丛聯絡的和樂、嘉当联络的和樂，以及主丛聯絡的和樂。在該些例子中，聯絡的和樂可用一個李群描述，…
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共 18 篇文章
非交換幾何
非交換幾何（，简称）為數學的分支領域，內容為的幾何方法，以及由函数的非交换代数局部呈现的空间的构造。非交換代數是一種結合代數，而乘積不是交換性的，亦即xy不總是等於yx。更廣義地說，這是一種代數結構，其中主要二元運算之一為非交換的。拓樸學或範數等概念可以延伸到非交換幾何中。 通过算子代数（即希尔伯特空间上有界线性算子的代数），可以深入了解非交换空间。非交换空间的典型例子之一也许是非交换环面，在1980年代的领域发展早期发挥了关键作用，导…
虫洞
蟲洞（），又稱愛因斯坦-羅森橋（），是一種連接時空中不同點的理論結構，它基於愛因斯坦場方程的特殊解。它們於1916年由路德維希·弗拉姆首次提出，並於1935年由阿爾伯特·愛因斯坦和內森·羅森再次提出。因此，它們也被稱為愛因斯坦-羅森橋。 蟲洞一詞是由約翰·阿奇博爾德·惠勒在1957年創造的， 而蟲洞这个名字有「虫咬的洞」的意思，其举例来自如果一只虫要苹果表面移动，比起沿着表面爬，不如直接从果肉穿过距离更短。 蟲洞可以想像成一條隧道，其兩…
克里斯托费尔符号
克氏符号，全称克里斯托费尔符号（），在数学和物理中，是从度量张量导出的列维-奇维塔联络的坐标表达式，因德國數學家埃爾溫·布魯諾·克里斯托費爾命名。克氏符号在每当进行涉及到几何的实用演算时都会被用到，因为他们使得非常复杂的演算不被搞混。不幸的是，它们写起来较繁琐，并要求对细节的仔细关注。相反，无下标的形式化的列维-奇维塔联络的概念是相当漂亮，并允许定理用典雅的方式表达，但是在实用演算中没有什么用处。 预备 下面的定义对于黎曼流形和广义相对…
嘉当联络
在数学上，微分几何的结构嘉当联络（Cartan connection）是联络概念的一个推广，由Élie Cartan提出。该方法的一些应用请参见活动标架法，嘉当联络的应用和爱因斯坦-嘉当理论。 理论的概念方面 它由埃里·嘉当提出，作为他的活动标架法的一部分（和一种表述方法）。它可作用于微分形式，所以带有计算的特征，但也有两个其它重要的方面，两个都更偏几何。嘉当重新表述了伪黎曼几何的微分几何；并不仅仅是（度量）流形，还有任意流形的理论，包…
联络
在幾何之中，聯絡是一點所對應的空間與另一點所對應的空間之間的轉換。這種轉換是沿著一曲線（族）的連續地變化，遵循平行性及邏輯上的一致性。在現代幾何中，依照不同的空間，可定義出好幾種不同的聯絡。 例如最常見的仿射聯絡，即是在流形上由一點上切空間，到另一點上切空間，沿著一條曲線的轉換。仿射聯絡可以用來定義協變導數，推廣了向量空間中方向導數的概念。 聯絡是現代幾何中一個應用範圍廣泛的核心概念，因為藉由聯絡，在一個幾何實體中，不同兩點上的局部幾何…
扭率張量
在微分几何中，扭率或稱挠率此一概念是刻画沿着曲线移动的标架的扭曲或螺旋的方法。例如曲线的挠率，出现在弗莱纳公式中，量化了一条曲线变化时关于它的切向量的扭曲程度（更确切的说弗莱纳标架关于切向量的旋转）。在曲面的几何中，“测地挠率”描述了曲面关于曲面上一条曲线的扭曲。相伴的曲率概念度量了沿着曲线的活动标架“没有扭曲的转动”。 更一般地，在装备一个仿射联络（即切丛的一个联络）的微分流形上，挠率与曲率构成了联络的两个基本不变量。在这种意义下，挠…
外共变导数
在数学中，外共变导数（），时或称为共变外导数（），是中一个非常有用的概念，它可能将利用主联络的公式化简。 设 P → M 是光滑流形 M 上一个主 G-丛。如果 \phi 是 P 上一个张量性 k-形式，则其外共变导数定义为： :D\phi(X_0,X_1,\dots,X_k)=\mathrm{d}\phi(h(X_0),h(X_1),\dots,h(X_k)) 这里 h 表示到水平子空间的投影，H_x 由联络定义，其核为该纤维丛的全空…
列维-奇维塔联络
列维-奇维塔联络（*'），在黎曼几何中， 是切丛上的无挠率联络，它保持黎曼度量(或伪黎曼度量)不变。因意大利数学家图利奥·列维-奇维塔而得名。 黎曼几何基本定理表明存在唯一联络满足这些属性。 在黎曼流形和伪黎曼流形的理论中，共变导数一词经常用于列维-奇维塔联络。联络的坐标空间的表达式称为克里斯托费尔符号。 形式化定义 设 (M,g) 为一黎曼流形（或伪黎曼流形），则仿射联络 \nabla 在满足以下条件时是列维-奇维塔联络。 #无挠率：…
平行移动
在几何中，平行移动（或译平行输运，英文： 或 ）是将流形上的几何数据沿着光滑曲线移动的一种方法。如果流形的切丛上装备有一个仿射联络（一个共变导数或联络），那么联络保证我们可以将流形上的向量沿着曲线移动使得它们关于这个联络保持“平行”。其他联络概念也装备了它们自己的平行移动系统。比如，一个向量场上的科斯居尔联络也允许类似于共变导数一样将向量平行移动。埃雷斯曼或嘉当联络提供了从流形到主丛全空间的“提升曲线”。这种曲线提升方式有时被认为是参考…
水平丛
在数学微分几何领域，给定 :π:E→M, 是光滑流形 M 上一个光滑纤维丛，则 E 的铅直丛 VE 是切丛 TE 的一个子丛，由与 E 在 M 上的纤维相切的切向量组成。一个水平丛（）则是特别地选取 TE 的一个子丛使其为 VE 的补丛，换句话说，在每个纤维给出一个补空间。 完全一般地，水平丛概念是表述纤维丛上埃雷斯曼联络的一种途径。但这个概念经常用于更确定的情形。 更具体的，如果 e ∈ E 满足 :π(e)=x ∈ M， 则在 e …
活动标架法
数学上，光滑流形上的标架可以理解为从一点到一点变化的标架。给定一个这样的流形M和一个其中的点P，在P点的一个标架表示一个M在P点的切空间的向量空间基底。也就是说，若M维数为n，我们给定n个切向量t1, ..., tn，属于M在P的切空间，而且线性獨立。在P的某个邻域U的一个活动标架要求我们给定 :T1, ..., Tn 每个都是定义在U上的向量场，全都假设为作为Q的函数在U中光滑，并且在每一点Q线性无关（为简单起见假设M处处维数为n）。…
联络 (主丛)
在数学中，丛上一个联络是定义了一种平行移动概念的装置；即将邻近点上的纤维“连接”或等价的一种方法。光滑流形M上主G-丛P上一个主G-联络是一类特殊的联络，它与群G的作用相容。 主联络可以视为是埃雷斯曼联络概念的一类特例，经常称为主埃雷斯曼联络。它给出了通过配丛构造相配于P的任何纤维丛上一个（埃雷斯曼）联络。特别地，在任何配向量丛上主联络诱导了一个共变导数，一个能对这个丛的光滑截面关于沿着底流形上切方向微分的算子。主联络将光滑流形标架丛上…
仿射联络
及切空間）轉換到另一點上的仿射切平面，此轉換是沿著連接兩點的曲線而連續變化的。]] 仿射聯絡是微分幾何中定義在流形上的幾何概念，連接了鄰近幾點上的切空間，使得在流形上的切向量場可以求導。仿射聯絡的概念起源於19世紀的幾何學和張量微積分，但那時並沒有被完備的定義出來。直到1920年，埃利·嘉當（用於嘉当联络（Cartan connection）理論）及赫爾曼·魏爾（做為廣義相對論的基礎理論）。這專門術語是源自嘉当，其根據從歐幾里德空間Rn…
埃雷斯曼联络
微分几何中，埃雷斯曼联络（）是应用于任意纤维丛的联络概念的一个版本。 特别的是，它可以是非线性的，因为一般的纤维丛上没有合适的线性的概念。 它适用于主丛这一类特殊的纤维丛，通过联络形式表述，在这种情况联络至少是在一个李群的作用下等变。 埃雷斯曼联络以法国数学家夏尔·埃雷斯曼命名。 简介 微分几何中经典的协变导数是一个线性微分算子，它以协变的方式取向量丛中截面的方向导数，也能用來闡述在 在特定向量方向上叢中截面為平行的概念：截面s沿着向量…
联络形式
在数学，特别是微分几何中，一个联络形式（）是用活动标架与微分形式的语言处理联络数据的一种方式。 历史上联络形式由埃利·嘉当在二十世纪上半叶引入，作为他活动标架方法的一部分，也是其主要促进因素之一。联络形式一般取决于标架的选取，从而不是一个张量性对象。在嘉当最初的工作之后，涌现出联络形式的各种推广与重新解释。特别地，在一个主丛上，一个主联络是将联络形式自然重新解释为一个张量性对象。另一方面，联络形式作为定义在微分流形上的微分形式与在一个抽…
铅直丛
在数学微分几何领域，一个光滑纤维丛的铅直丛（）是切丛的一个子丛，由所有和纤维相切的向量组成。更具体地，如果 π:E→M 是一个光滑流形 M 上一个光滑纤维丛，设 e ∈ E 满足 π(e)=x ∈ M，则在 e 处的铅直空间（） VeE 是纤维 Ex 包含 e 的切空间 Te(Ex)。这就是， VeE = Te(Eπ(e))。从而铅直空间是 TeE 的一个子空间，所有铅直空间的并是 TE 的一个子丛 VE，这便是 E 的铅直丛。 铅直丛…
联络 (向量丛)
在数学中，纤维丛上一个联络是一个定义丛上平行移动的装置；即将邻近点连接或等价的一种方法。如果纤维丛是向量丛，则平行移动的概念要求线性。这样的联络等价于一个共变导数，共变导数是一个能对截面关于底流形的切方向求微分的算子。联络在这个意义下，对任意向量丛，推广了光滑流形切丛的线性联络概念，经常叫做线性联络。 向量丛上的联络也经常称为科斯居尔联络，以让-路易·科斯居尔命名，他给出了描述这个联络的一个代数框架 。 形式定义 设 E → M 是光滑…