外共变导数

在数学中，外共变导数（），时或称为共变外导数（），是中一个非常有用的概念，它可能将利用主联络的公式化简。

设 P → M 是光滑流形 M 上一个主 G-丛。如果 \phi 是 P 上一个张量性 k-形式，则其外共变导数定义为：

:D\phi(X_0,X_1,\dots,X_k)=\mathrm{d}\phi(h(X_0),h(X_1),\dots,h(X_k))
这里 h 表示到水平子空间的投影，H_x 由联络定义，其核为该纤维丛的全空间切丛的 V_x（铅直子空间）。这里 X_i 是 P 上任何向量场。Dφ 是 P 上一个张量性 k+1 形式。

不像通常的外导数的平方是 0，我们有
:D^2\phi=\Omega\wedge\phi
这里 \Omega 表示曲率形式。特别的 D^2 对平坦联络消没。

物理學
若A是聯絡形式、f是函數，則外共变导数是

d_D f = (d+A)f

若M \in End(E)是矩陣函數（E是主叢；例如，屬於G的李代數），則外共变导数是

d_D M= dM+[A, M]

而且，若F是曲率形式，則

F = d_D^2 = d_D A = dA + A^2

比安基恒等式是

d_D F = d_D^3 = 0

相关条目
*外联络
*楊-米爾斯場論
*陳-西蒙斯形式

参考文献
*
*Baez. Gauge fields, Knots, Gravity.
*Zee (徐一鴻). QFT in Nutshell.
*Michael Nielsen. Intro to YM. http://michaelnielsen.org/blog/yang_mills.pdf