列维-奇维塔联络

列维-奇维塔联络（**'），在黎曼几何中，是切丛上的无挠率联络，它保持黎曼度量(或伪黎曼度量)不变。因意大利数学家图利奥·列维-奇维塔而得名。

黎曼几何基本定理表明存在唯一联络满足这些属性。

在黎曼流形和伪黎曼流形的理论中，共变导数一词经常用于列维-奇维塔联络。联络的坐标空间的表达式称为克里斯托费尔符号。

形式化定义
设 (M,g) 为一黎曼流形（或伪黎曼流形），则仿射联络 \nabla 在满足以下条件时是列维-奇维塔联络。

#无挠率：也就是，对任何向量场 X, Y 我们有 \nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y]，其中 [X,Y] 是向量场 X 和 Y 的李括号。

#与度量相容：也就是,对任何向量场 X, Y, Z我们有 Xg(Y,Z)=g(\nabla_X Y,Z)+g(Y,\nabla_X Z)，其中 Xg(Y,Z) 表示函数 g(Y,Z) 沿向量场 X 的导数。

沿曲线的导数
列维-奇维塔联络也定义了一个沿曲线的导数，通常用 D 表示。

给定一个在 (M,g) 上的光滑曲线 \gamma和\gamma 上的一个向量场 V，其导数定义如下
:\frac{D}{dt}V=\nabla_{\dot\gamma(t)}V.

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