在数学中， 克利福德(Clifford) 丛是一种代数丛，其纤维具有克利福德代数的结构，并且其局部平凡化遵循代数结构。任何（伪）黎曼流形M都对应有一个自然的 克利福德丛，称为M的 克利福德丛。
这通常被称为 S 3的霍普夫纤维化，是海因茨·霍普夫 (1931) 指出的一种拓扑构造。但霍普夫的程序明确地基于（并附有适当参考）早期的“克利福德平行线”的几何构造。
一般构造
设V是一个（实数或复数）向量空间，且具有对称双线性形式。克利福德代数Cℓ ( V ) 是由V生成的自然（单位结合）代数，仅满足以下关系
: v^2 = \langle v,v\rangle
对于V中的所有v 。 可以将Cℓ ( V ) 构造为V的张量代数由上述关系生成的理想的商代数。
与其他张量运算一样，这种构造可以在光滑向量束上以纤维方式进行。设E是光滑流形M上的光滑向量丛，设g是E上的光滑对称双线性形式。E的Clifford 丛是这样的纤维丛，其纤维是由E的纤维生成的 Clifford 代数：
: C\ell(E) = \coprod_{x\in M} C\ell(E_x,g_x)
Cℓ ( E ) 的拓扑结构由E的拓扑结构通过相关束构造确定。
人们最常感兴趣的是g为正定的或至少是非退化的情况；也就是说，当 ( E, g ) 为黎曼向量束或伪黎曼向量束时。为了具体起见，假设 ( E, g ) 是黎曼向量束。 E的 Clifford 束可以按如下方式构造。令Cℓ n R为由R n以欧氏度量生成的 Clifford 代数。正交群O( n ) 对R n的标准作用引发Cℓ n R的分级自同构。同态
: \rho : \mathrm O(n) \to \mathrm{Aut}(C\ell_n\mathbb R)
由以下因素决定
: \rho(A)(v_1v_2\cdots v_k) = (Av_1)(Av_2)\cdots(Av_k)
其中v i均为R n中的向量。 E的 Clifford 束由下式给出：
: C\ell(E) = F(E) \times_\rho C\ell_n\mathbb R
其中F ( E ) 是E的正交框架丛。由此构造可知， Cℓ ( E ) 的结构群为 O( n )。由于 O( n ) 通过Cℓ n R上的分次自同构作用，因此Cℓ ( E ) 是M上的Z 2 分次代数的丛。Clifford 丛Cℓ ( E ) 可以分解为偶子丛和奇子丛：
: C\ell(E) = C\ell^0(E) \oplus C\ell^1(E).
如果向量束E是可定向的，则可以按照自然的方式将Cℓ ( E ) 的结构群从 O( n ) 简化为 SO( n )。
黎曼流形的克利福德丛
如果M是度量为g的黎曼流形，则M的 Clifford 束是由切束TM生成的 Clifford 束。我们还可以用余切丛T M构建一个 Clifford 丛。该度量诱导出一个自然同构TM = T M ，因此也诱导出一个同构Cℓ ( TM ) = Cℓ ( T M* )。
M的 Clifford 丛与M的外丛之间存在自然向量丛同构：
: C\ell(T^M) \cong \Lambda(T^M).
这是向量束的同构，而不是代数束的同构。同构是由每根纤维上相应的同构引起的。这样，人们就可以把 Clifford 丛的各个部分想象成M上的微分形式，配备了 Clifford 乘法，而不是楔积（与度量无关）。
上述同构在以下意义上保持分次：
: \begin{align}
C\ell^0(T^M) &= \Lambda^{\mathrm{even}}(T^M)\\
C\ell^1(T^M) &= \Lambda^{\mathrm{odd}}(T^M).
\end{align}
局部描述
对于向量v \in T_{x}M在x\in M以及一个表格\psi \in \Lambda(T_{x}M) Clifford 乘法定义为
v\psi= v\wedge \psi + v \lrcorner \psi ，
其中第一项使用了度量对偶来将向量变为一种形式。
然后外导数d及其衍生品\delta可以与公制连接相关\nabla使用正交基的选择\{ e_{a}\}经过
d=e^{a}\wedge \nabla_{e_a}, \quad \delta = -e^{a}\lrcorner\nabla_{e_a} 。
利用这些定义，狄拉克-凯勒算子 定义为
D = e^{a}\nabla_{e_a}=d-\delta 。
在星型域上，对于外导数，可以利用庞加莱引理对该算子求逆，对于同导数，可用霍奇星型对偶对该算子进行求逆。 实现这一目标的实际方法是通过同伦算子和上同伦算子。
参见
- 正交框架束
- 旋量
- 自旋流形
- 旋量表示
- 自旋几何
- 自旋结构
- Clifford 模块包
笔记
参考
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