内乘

在数学中，内乘（，或译内插積、內縮積）是光滑流形上的微分形式外代数上一个次数为 −1 导子，定义为微分形式与一个向量场的缩并。从而如果 X 是流形 M 上一个向量场，那么

:\iota_X\colon \Omega^p(M) \to \Omega^{p-1}(M)
是将一个 p-形式 ω 映为 (p−1)-形式 iXω，由性质
:( \iota_X\omega )(X_1,\ldots,X_{p-1})=\omega(X,X_1,\ldots,X_{p-1})
所定义，对任何向量场 X1,..., Xp−1。本质上来说，内乘可以定义在向量空间与外代数上，即只与流形的一点有关。

内乘也称为内乘法（ 或 ），或内导数（ 或 ）。

一些作者使用字母 i 代替 \iota；内乘有时也写成 \iota(X) 或者 X \lrcorner \omega = \iota_X\omega 。

性质
由反对称性

: \iota_X \iota_Y \omega = - \iota_Y \iota_X \omega

所以 \iota_X^2 = 0 。

因为李导数与缩并可以交换，故：
:\mathcal L_X (\iota_Y\omega)=\iota_{[X,Y]}\omega+\iota_Y (\mathcal L_X\omega)\ ,
这便得出两个向量李括号的内乘公式：
:\iota_{[X,Y]}\omega=\mathcal L_X (\iota_Y\omega)-\iota_Y (\mathcal L_X\omega)\ .

内乘与微分形式的外导数以及李导数的关系由嘉当恒等式给出：

: \mathcal L_X\omega = \mathrm d (\iota_X \omega) + \iota_X \mathrm d\omega \ .

这个等式在辛几何中非常重要：参见矩映射。

另见

• 张量缩并