外代数（）也稱為格拉斯曼代数（Grassmann algebra），以紀念数学家赫爾曼·格拉斯曼。

数学上，向量空间V的外代數是一个特定有单位的结合代数，其包含了V为其中一个子空间。它记为\land (V)或\land\cdot(V). 而它的乘法，称为楔积或外积，记为\land. 楔积是结合的和雙線性的；其基本性質是它在V上是交錯的，也就是：

:v\wedge v = 0，對於所有向量v\in V

这表示
:u\wedge v = - v\wedge u，對於所有向量u,v\in V，以及
:v_1\wedge v_2\wedge\cdots \wedge v_k = 0，當v_1,\ldots,v_k\in V 线性相关时。

值得注意的是，以上三性质只对V中向量成立，不是对代数\land (V)中所有向量成立。

外代数事实上是“最一般的”满足这些属性的代数。这意味着所有在外代数中成立的方程只从上述属性就可以得出。\land (V)的这个一般性形式上可以用一个特定的泛性质表示，请参看下文。

形式为v_1\land v_2\land\ldots\land v_k的元素，其中v_1,\ldots,v_k在V中，称为k-向量。所有k-向量生成的\land (V)的子空间称为V的*k-阶外幂，记为\land^k(V)。外代数可以写作每个k**阶幂的直和：

:\Lambda(V) = \bigoplus_{k=0}^{\infty} \Lambda^k V

该外积有一个重要性质，就是k-向量和I-向量的积是一个k+I-向量。这样外代数成为一个分次代数，其中分级由k给出。这些k-向量有几何上的解释：2-向量u\land v代表以u和v为边的带方向的平行四边形，而3-向量u\land v\land w代表带方向的平行六面体，其边为u, v, 和w。

外幂的主要应用在于微分几何，其中他们用来定义微分形式。因而，微分形式有一个自然的楔积。所有这些概念由格拉斯曼提出。

定义及运算律
外代数有很多种等价的定义，下面的定义是最简洁的一个。

定义: 设 V是域 K上的一个向量空间，讓T^k(V):=\underset{k}{\underbrace{V\otimes\cdots\otimes V}} 則定義
::T(V) = \bigoplus_{k=0}^\infty T^k V
= K \oplus V \oplus (V \otimes V) \oplus (V \otimes V \otimes V) \oplus \ldots

令 I为 V的张量代数的理想（即双边理想），该理想是由所有形如v \otimes v的张量生成的（其中v \in V任意），则将V上的外代数\Lambda (V)定义为商代数T(V)/I，即
::
\Lambda(V) := T(V)/I,

并且把v_1 \otimes \ldots \otimes v_k \in T^k V的等价类[v_1 \otimes \ldots \otimes v_k] \in T(V)/I记为v_1 \wedge \ldots \wedge v_k，其中 v_1, \ldots, v_k \in V。设k = 0, 1, 2, \ldots \, , 称
::\Lambda^k(V) := (T^k V)/I

为V的k-阶外幂（kth exterior power of V），称\land^k (V)中的元素为k-向量（k-multivector）。

注：

\forall \lambda \in K，当且仅当\lambda = 0时才有\lambda \in I，因此，可以把\Lambda^0 (V) = K/I等同于K，并且把[\lambda] \in \Lambda^0 (V)记为\lambda；基于类似的原因，可以把\Lambda^1 (V) = V/I等同于V，而且把[v] \in \Lambda^0 (V)记为v。这一点是前面所讲的能够把[v_1 \otimes \ldots \otimes v_k] \in \Lambda^k (V)记为 v_1 \wedge \ldots \wedge v_k的特例和前提。

当k > 1时，k-向量并不仅限于形如v_1 \wedge \ldots \wedge v_k的元素，例如，v_1 \wedge v_2 + w_1 \wedge w_2也是2-向量，其中v_1, v_2, w_1, w_2 \in V.

理想I中的元素并不仅限于形如v \otimes v的张量，例如，

##\forall v \in V, \forall t \in T(V), 必定有 v \otimes v \otimes t \in I和t \otimes v \otimes v \in I.

\forall v, w \in V, 由于(v + w) \otimes (v + w) \in I和v \otimes v \in I以及w \otimes w \in I，显然有v \otimes w + w \otimes v = (v + w) \otimes (v + w) - v \otimes v - w \otimes w \in I，这就有一个推论：所有的二阶对称张量都在理想I中。

由于上面的两个结论，\forall v, w \in V，我们有v \otimes w \otimes v = v \otimes (w \otimes v + v \otimes w) - v \otimes v \otimes w \in I，这是因为等式右边的每一项都在I中。对张量t \in T(V)的阶数作数学归纳法，则可以证明：\forall v \in V, \forall t \in T(V)，总有v \otimes t \otimes v \in I。

设k = 2, 3, \ldots，则\forall \alpha \in \Lambda^k (V)，\alpha作为等价类含有唯一的一个完全反对称的代表元t \in T^k (V)，可以把这个k-阶的完全反对称张量等同于\alpha, 详见后面的“反对称算子和外幂”一节。在有些文献中，k-向量就是以这种方式定义的。

运算律 将上面的注中的内容用\wedge写出，则分别给出

(1) \forall \lambda \in K, \alpha \in \Lambda(V), \lambda \wedge \alpha = \alpha \wedge \lambda = \lambda \alpha.

证明如下： 作为等价类，我们从\alpha \in \Lambda(V) = T(V)/I中任意挑选一个代表元t，则t \in T(V)而且\alpha = [t]。根据商代数的定义，
::\lambda \wedge \alpha = [\lambda] \wedge [t] = [\lambda \otimes t] = [\lambda t] = \lambda [t] = \lambda \alpha.

类似地，可以证明\alpha \wedge \lambda = \lambda \alpha \, .

(2) 根据注3.1中的内容，显然有v \wedge v = 0, \, \forall v \in V.

(3) 根据注3.2中的内容，对任意v, w \in V成立着
::v \wedge w = - w \wedge v.

注：即使K的特徵为2，这个公式也是对的，只不过此时有-1 = 1而已。

(4) 根据商代数的定义以及张量代数的性质，运算\wedge: \Lambda(V) \times \Lambda(V) \rightarrow \Lambda(V)满足结合律和分配律：
::(\alpha \wedge \beta) \wedge \theta = \alpha \wedge (\beta \wedge \theta),
::(\alpha + \beta) \wedge \theta = \alpha \wedge \theta + \beta \wedge \theta,
::\alpha \wedge (\beta + \theta) = \alpha \wedge \beta + \alpha \wedge \theta,

其中\alpha, \beta, \theta \in \Lambda (V)都是任意的。

以前两条性质为例，其证明如下：设张量a, b, t \in T(V)分别是\alpha, \beta, \theta中的代表元，即\alpha = [a], \beta = [b], \theta = [t], 则
::(\alpha \wedge \beta) \wedge \theta = ([a] \wedge [b]) \wedge [t] = [a \otimes b] \wedge [t] = [(a \otimes b) \otimes t] = [a \otimes (b \otimes t)] = [a] \wedge [b \otimes t] = [a] \wedge ([b] \wedge [t]) = \alpha \wedge (\beta \wedge \theta),
::(\alpha + \beta) \wedge \theta = ([a] + [b]) \wedge [t] = [a + b] \wedge [t] = [(a + b) \otimes t]
= [a \otimes t + b \otimes t] = [a \otimes t] + [b \otimes t] = [a] \wedge [t] + [b] \wedge [t]
= \alpha \wedge \theta + \beta \wedge \theta.

(5) 根据上面的(3)和(4)，用数学归纳法可以证明：\forall \alpha \in \Lambda^k (V) \, , \, \beta \in \Lambda^l (V) \, ,
::\beta \wedge \alpha = (-1)^{kl} \alpha \wedge \beta.
证明从略。

基底和维数
若V的维数是n而\left \{ e_1,\ldots,e_n \right \}是V的基，则集合

:\{e_{i_1}\wedge e_{i_2}\wedge\cdots\wedge e_{i_k} \mid 1\le i_1
是k阶外幂\land^k(V)的一个基。理由如下：给定任何如下形式的楔积
:v_1\wedge\cdots\wedge v_k

则每个向量v_j可以记为基向量e_i的一个线性组合；利用楔积的双线性性质，这可以扩张为那些基向量的楔积的线性组合。任何出现同样基向量两次的楔积为0；任何基向量出现的次序不正确的可以重新排序，在交换任何两个基向量的时候变换符号。一般来讲，最后基k-向量前的系数可以用通过积e_i来描述v_j的矩阵的子式来计算。

数一下基元素，我们可以看到\land^k(V)的维数是n 取 k。特别的有，
\land^k(V)=\left \{ 0 \right \}对于k>n.

外代数是一个分级代数，是如下直和
:\Lambda(V) = \Lambda^0(V)\oplus \Lambda^1(V) \oplus \Lambda^2(V) \oplus \cdots \oplus \Lambda^n(V)

其维数等于二项式系数之和，也就是2^n.

例子: 欧氏三维空间的外代数
考虑空间\mathbb{R}^3，其基为\left \{ i,j,k \right \}。一对向量
: \mathbf{u} = u_1 \mathbf{i} + u_2 \mathbf{j} + u_3 \mathbf{k}
: \mathbf{v} = v_1 \mathbf{i} + v_2 \mathbf{j} + v_3 \mathbf{k}
的楔积为
: \mathbf{u} \wedge \mathbf{v} = (u_1 v_2 - u_2 v_1) (\mathbf{i} \wedge \mathbf{j}) + (u_1 v_3 - u_3 v_1) (\mathbf{i} \wedge \mathbf{k}) + (u_2 v_3 - u_3 v_2) (\mathbf{j} \wedge \mathbf{k})

其中\left \{ i\land j,i\land k,j\land k \right \}是三维空间\land^2\left ( \mathbb{R}^3 \right )的基底。

再加一个向量
: \mathbf{w} = w_1 \mathbf{i} + w_2 \mathbf{j} + w_3 \mathbf{k} ,
这三个向量的楔积是
: \mathbf{u} \wedge \mathbf{v} \wedge \mathbf{w} = (u_1 v_2 w_3 + u_2 v_3 w_1 + u_3 v_1 w_2 - u_1 v_3 w_2 - u_2 v_1 w_3 - u_3 v_2 w_1) (\mathbf{i} \wedge \mathbf{j} \wedge \mathbf{k})

其中i\land j\land k是一维空间\land^3\left ( \mathbb{R}^3 \right )的基底。

空间\land^1\left ( \mathbb{R}^3 \right )是\mathbb{R}^3, 而空间\land^0\left ( \mathbb{R}^3 \right )是\mathbb{R}。取所有四个子空间的直和得到一个向量空间\land\left ( \mathbb{R}^3 \right )，这是八维向量空间

: \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8) := (a_1, a_2 \mathbf{i} + a_3 \mathbf{j} + a_4 \mathbf{k}, a_5 \mathbf{i} \wedge \mathbf{j} + a_6 \mathbf{i} \wedge \mathbf{k} + a_7 \mathbf{j} \wedge \mathbf{k}, a_8 \mathbf{i} \wedge \mathbf{j} \wedge \mathbf{k}) .

那么，给定一对8维向量a和b, 其中a如上给出，而

: \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, b_6, b_7, b_8) ,
a和b的楔积如下(用列向量表达),

: \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_1 b_1 \\ a_1 b_2 + a_2 b_1 \\ a_1 b_3 + a_3 b_1 \\ a_1 b_4 + a_4 b_1 \\
a_1 b_5 + a_5 b_1 + a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_1 b_6 + a_6 b_1 + a_2 b_4 - a_4 b_2 \\ a_1 b_7 + a_7 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3 \\
a_1 b_8 + a_8 b_1 + a_2 b_7 + a_7 b_2 - a_3 b_6 - a_6 b_3 + a_4 b_5 + a_5 b_4 \end{pmatrix} .

容易验证8维楔积以向量\left ( 1,0,0,0,0,0,0,0 \right )为乘法幺元。也可以验证该\land\left ( \mathbb{R}^3 \right )代数的楔积是结合的(也是双线性的):

: (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}) \wedge \mathbf{c} = \mathbf{a} \wedge (\mathbf{b} \wedge \mathbf{c}) \qquad \qquad \forall \, \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \isin \Lambda (\mathbf{R}^3),
所以该代数是有单位且结合的。

叉乘的实质，赝向量与赝标量
对三维欧几里得空间E^3可以建立一个线性同构\phi: \Lambda^2(E^3) \rightarrow E^3如下：任取E^3的右手的标准正交基\boldsymbol{i}，\boldsymbol{j}，\boldsymbol{k}，规定\phi把\boldsymbol{i} \wedge \mathbf{j}，\boldsymbol{j} \wedge \boldsymbol{k}，\boldsymbol{k} \wedge \boldsymbol{i}分别映射为\boldsymbol{k}，\boldsymbol{i}，\boldsymbol{j}，则\phi的定义与右手的标准正交基如何选取无关。

不难看出，对任意向量\boldsymbol{u}和\boldsymbol{v}，这个线性同构把\boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v}映射为\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v}。这就是叉乘（向量积）的实质。例如，E^3中平行四边形ABCD的面积向量可以表示为\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}. 经过推广之后，高维黎曼流形(M, \mathbf{g})中的紧的二维曲面\Sigma的面积则可以用
:
\int_\Sigma \sqrt{h} \, du^1 \wedge du^2 \, , \qquad
h = \left|\begin{array}{cc}
h_{11} & h_{12} \\
h_{21} & h_{22}
\end{array}\right| \, ,

来计算（其中h_{ab}是度规张量场\mathbf{g}在\Sigma上的诱导度规

\mathbf{h} = h_{ab} \, du^a \otimes du^b

的坐标分量），由此可以看到外积和叉乘的深刻关系。

在物理学中，向量（极向量）与赝向量（轴向量）两个概念经常需要加以区分。从根本上说，向量是E^3中的元素，所以在空间反演变换下不会改变方向；而赝向量其实是\Lambda^2 (E^3)中的元素，故在空间反演变换下会改变方向。

类似地，借助于右手的标准正交基，可以把\Lambda^3 (E^3)中的元素a \, \boldsymbol{i} \wedge \boldsymbol{j} \wedge \boldsymbol{k}映射为“标量"a \in \mathbb{R} = \Lambda^0 (E^3)。但是，在空间反演变换下它就会原形毕露，所以称它为赝标量。真正的标量在空间反演下是不变的，而赝标量在空间反演下会改变符号。

把 2-向量\boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v}映射为向量\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v}以及把 3-向量a \, \boldsymbol{i} \wedge \boldsymbol{j} \wedge \boldsymbol{k}映射为一个实数a的映射实际上是一个叫做霍奇对偶的线性映射。

泛性质及构造
令V为一个域K（在多数应用中，也就是实数域）上的向量空间。\land(V)是“最一般”的包含V的并有一个交替乘法在V上由单位的结合K-代数这个事实可以用如下的泛性质形式化的表达：

任给一个有单位的结合 K-代数A和一个K-线性映射j:V\rightarrow A使得j(v)j(v)=0对于每个v属于V成立，则存在恰好一个由单位的代数同态f:\land(V)\rightarrow A使得f(v)=j(v)所有v属于V成立。

要构造最一般的包含V的代数，而且其乘法是在V上交替的，很自然可以从包含V的最一般的代数开始，也就是张量代数T(V)，然后通过合适的商来强制交替的性质。这样我们取T(V)中由所有形为v\otimes v的元素生成的双边理想I，其中v属于V，并定义\land(V)为商
:\land(V)=T(V)/I

（并且使用\land为\land(V)中的乘法的代号）。然后可以直接证明\land(V)包含V并且满足上述泛性质。

如果不是先定义\land(V)然后把外幂\land^k(V)等同为特定的子空间，我们也可以先定义空间\land^k(V)然后把它们合并成为一个代数\land(V)。这个方法在微分集合中常常用到，并在下节中有描述。

反对称算子和外幂
给定两个向量空间V和X，一个从V^k到X的反对称算子是一个多线性映射

:f:V^k\rightarrow X

使得只要v_1,\ldots,v_k是V中线性相关的向量，则
:f\left ( v_1,\ldots,v_k \right )=0.

最著名的例子是行列式值，从(K^n)^n到K的反对称线形算子。

映射
:w:V^k\rightarrow \land^k(V)

它关联V中的k个向量到他们的楔积，也就是它们相应的k-向量，这也是反对称的。事实上，这个映射是定义在V^k上的“最一般”的反对称算子：给定任何其它反对称算子f:V^k\rightarrow X，存在一个唯一的线性映射\varphi:\land^k(V)\rightarrow X\mathrm{with}f=\varphi\circ w。这个泛性质表述了空间\land^k(V)并且可以作为它的定义。

所有从V^k到基域K的反对称映射组成一个向量空间，因为两个这样的映射的和、或者这样一个映射和一个标量的乘积也是反对称的。若V是有限维的，维数n，则该空间可以认同为\land^k(V^)，其中V^表示V的对偶空间。特别的有，从V^k到K的反对称映射的空间是n取k维的。

在这个等同关系下，若基域是R或者C，楔积有一个具体的形式：它从两个给定的反对称映射得到一个新的反对称映射。设\omega:V^k\rightarrow K和\eta:V^m\rightarrow K为两个反对称映射。和在多线性映射的张量积的情况一样，楔积的变量数是每个映射的变量数之和。它定义如下：

:\omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}{\rm Alt}(\omega\otimes\eta)

其中多线性映射的交替\mathrm{Alt}定义为其变量的所有排列的带符号平均：

:{\rm Alt}(\omega)(x_1,\ldots,x_k)=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}{\rm sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(k)})

注意： 有一些书中楔积定义为
:\omega\wedge\eta={\rm Alt}(\omega\otimes\eta)

指标记法
在主要由物理学家使用的指标记法中有：

:(\omega\wedge\eta)_{a_1 \cdots a_{k+m}}=\frac{1}{k!m!}\epsilon_{a_1 \cdots a_{k+m}}^{b_1 \cdots b_k c_1 \cdots c_m} \omega_{b_1 \cdots b_k} \eta_{c_1 \cdots c_m}

微分形式
令M为一个微分流形。一个微分k-形式\omega是\land^kT^M（M的余切丛的k阶外幂）的一个截面。等价的有：\omega是M的光滑函数，对于M的每个点x给定一个\land^k\left ( T_xM \right )^的元素。大致来讲，微分形式是余切向量的全局版本。微分形式是微分几何的重要工具，其中，它们被用于定义德拉姆上同调和亚历山大-斯潘尼尔上同调。

推广
给定一个交换环R和一个R-模M，我们可以定义和上文一样的外代数\land(M)，它是张量代数T(M)适当的商。它会满足类似的泛性质。

物理应用
格拉斯曼代数在物理中有重要应用，它们被用于建模和费米子和超对称性相关的各种概念。

参看：超空间，超代数，超群

注释
相关课题
*多线性代数
*张量代数
*对称代数
*克利福德代数