的2维截面]]

微分几何中，叶状结构（）是n-流形上的等价关系，等价类是连通单射浸入子流形，都具有相同维度p，以实坐标空间\mathbb{R}^n的分解为标准嵌入子空间\mathbb{R}^p的陪集x+\mathbb{R}^p为模型。等价类称作叶状结构的叶（leaf）。若要求流形和/或子流形具有（C^r类的）分段线性、微分或解析结构，就可分别定义分段线性、微分、解析叶状结构。在最重要的C^r类微分叶状结构中，通常r ≥ 1（否则C^0就是拓扑叶状结构）。p（叶的维度）称作叶状结构的维度，q=n-p称作其余维数。

在数学物理学家关于广义相对论的一些论文中，“叶状结构”用于描述：相关的洛伦兹流形（(p+1)维时空）分解为p维超平面，指定为梯度处处不为零的实值光滑函数（标量场）的水平集；这光滑函数通常被假定为时间函数，梯度处处类时间，因此其水平集都是类空间超平面。为与标准数学术语保持一致，这些超平面通常称作叶状结构的叶。注意，虽然这情形确实构成标准数学意义上的余维-1叶状结构，但这类例子是全局平凡的。虽然（数学）余维-1叶状结构的叶局部上总是函数的水平集，但一般不能在全局这样表达，
:\partial B = \left \{ \left(0,x^2, \ldots, x^n \right ) \in B \right \}.
在下面的定义中，坐标图（coordinate chart）被认为是在\mathbb{R}^p\times\mathbb{R}^q，允许流形具有边界和（凸）角的可能。

n-流形M上余维为q的叶状图（foliated chart）是(U,\ \varphi)，其中U\subset M是开集，\varphi: U \to B_{\tau} \times B_{\pitchfork}是微分同胚，B_{\pitchfork}是\mathbb{R}^q中的矩邻域，B_{\tau}是\mathbb{R}^p中的矩邻域。集合P_y=\varphi^{-1}(B_{\tau}\times\{y\})，其中y \in B_{\pitchfork}称作这叶状图的斑（plaque）。\forall x\in B_{\tau}，集合S_x=\varphi_x=\varphi^{-1}(\{x\}\times B_{\pitchfork})称作叶状图的横截（transversal）。集合\partial_{\tau}U=\varphi^{-1}(B_{\tau}\times(\partial B_{\pitchfork}))称作U的切边界（tangential boundary），\partial_{\pitchfork}U=\varphi^{-1}((\partial B_{\tau})\times B_{\pitchfork})称作U的横截边界（transverse boundary）。

叶状图是所有叶状结构的基本模型，斑就是叶。B_{\tau}表示“B-切”，B_{\pitchfork}表示“B-截”。还有多种可能。若B_{\pitchfork},\ B_{\tau}都有空边界，则叶状图就建模了无界n-流形的余维-q叶状结构。若其中一个矩邻域有界，则叶状图建模了有界无角n-流形的叶状结构的各种可能性。具体来说，若\partial B_{\pitchfork}\neq \varnothing=\partial B_{\tau}，则\partial U=\partial_{\tau}U是斑之并，斑表示的叶状结构切于边界。若\partial B_{\tau}\neq\varnothing=\partial B_{\pitchfork}，则\partial U=\partial_{\pitchfork}U是横截之并，叶状结构横截于边界。最后，若\partial B_{\pitchfork}\neq\varnothing\neq\partial B_{\tau}，则建模了叶状流形（foliated manifold），角分开了切边界与横截边界。

重新表述相干叶状图的有效方法是将w\in U_{\alpha}\cap U_{\beta}写作：
:\varphi_{\alpha} (w) = \left ( x_{\alpha} (w), y_{\alpha} (w) \right ) \in B_{\tau}^{\alpha} \times B_{\pitchfork}^{\alpha},
:\varphi_{\beta} (w) = \left ( x_{\beta} (w), y_{\beta} (w) \right ) \in B_{\tau}^{\beta} \times B_{\pitchfork}^{\beta}.
(U_{\alpha},\ \varphi_{\alpha})常写作(U_{\alpha},\ x_{\alpha},\ y_{\alpha})，其中
|}

上面定义的开集上的斑与横截也是开的。不过，我们也可以谈论闭的斑与横截：若(U,\ \varphi),\ (W,\ \psi)都是叶状图，使得\overline{U}（U的闭包）是W的子集，\varphi=\psi|U；则，若\varphi(U) = B_{\tau} \times B_{\pitchfork},可知\psi|\overline{U}，写作\overline{\varphi}，将\overline{U}微分同胚地带到\overline{B}_{\tau} \times \overline{B}_{\pitchfork}.

符合以下条件的叶状图册称作规则的（regular）：

\forall\alpha\in A,\ \overline{U}_{\alpha}是叶状图(W_{\alpha},\ \psi_{\alpha})的紧子集，且\varphi_{\alpha}=\psi_{\alpha}|U_{\alpha}；

覆盖\{U_{\alpha}|\alpha\in A\}是局部有限的；

若(U_{\alpha},\ \varphi_{\alpha}),\ (U_{\beta},\ \varphi_{\beta})都是叶状图册的元素，则每个闭斑P\subset\overline{U}_{\alpha}的内部与最多与\overline{U}_{\beta}中的1个斑相遇。

根据性质 (1)，坐标x_{\alpha},\ y_{\alpha}延伸到\overline{U}_{\alpha}上的坐标\overline{x}_{\alpha},\ \overline{y}_{\alpha}，可以写成\overline{\varphi}_{\alpha} = \left (\overline{x}_{\alpha},\overline{y}_{\alpha} \right ).性质 (3)等价于要求：若U_{\alpha}\cap U_{\beta}\neq\varnothing，横坐标变化\overline{y}_{\alpha} = \overline{y}_{\alpha} \left ( \overline{x}_{\beta}, \overline{y}_{\beta} \right )独立于\overline{x}_{\beta}.即
:\overline{g}_{\alpha \beta} = \overline{\varphi}_{\alpha} \circ \overline{\varphi}_{\beta}^{-1} : \overline{\varphi}_{\beta} \left ( \overline{U}_{\alpha} \cap \overline{U}_{\beta} \right ) \rightarrow \overline{\varphi}_{\alpha} \left ( \overline{U}_{\alpha} \cap \overline{U}_{\beta} \right )
有公式
:\gamma_{\alpha \alpha} \equiv y_{\alpha} \left ( U_{\alpha} \right ),
:\gamma_{\alpha \beta} = \gamma_{\beta \alpha}^{-1}.
用上述关于相干性和规则性的定义，可证明每个叶状图册都有规则的相干细化。
:
用平行线对\mathbb{R}^n进行叶状结构的类似构造，可得与环面上的线性流相关的n-环面\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n的1维叶状结构。

纬悬叶状结构
平坦丛不仅有对纤维的线性结构，还有横截于纤维的叶状结构，其叶为
: L_f:= \left\{p\left(\tilde{b},f\right): \tilde{b}\in\widetilde{B}\right\}, \quad \mbox{ for }f\in F,
其中p:\ \widetilde{B}\times F\to M是规范投影。这个叶状结构称作表示\rho:\ \pi_1(B)\to{\rm Homeo}(F)的纬悬。

具体地说，若B=S^1，\varphi:F\to F是F的同胚，则\varphi的纬悬叶状结构定义为表示\rho:\ \mathbb{Z}\to{\rm Homeo}(F)的纬悬叶状结构，由\rho(z)=\Phi^z给出。其叶空间是L=\mathcal{F}/\sim，其中只要对某个n\in\mathbb{Z},\ y=\Phi^n(x),\ x\sim y。

纬悬叶状结构最简单的例子是q维流形X。令f:\ X\to X是双射。将纬悬M=S^1\times_f X定义为[0,\ 1]\times X对等价关系(1,\ x)\sim(0,\ f(x))的商。
:M=S^1\times_f X=[0,\ 1]\times X
则，M自动携带两个叶状结构：\mathcal{F}_2包含F_{2,\ t}=\{(t,\ x)_{\sim}:\ x\in X\}形式的集合；\mathcal{F}_1包含F_{2,\ x_0}=\{(t,\ x):\ t\in[0,\ 1],\ x\in O_{x_0}\}形式的集合，其中轨道O_{x_0}定义为
:O_{x_0}=\{\ldots,\ f^{-2}(x_0),\ f^{-1}(x_0),\ x_0,\ f(x_0),\ f^2(x_0),\ \ldots\}
其中指数指的是函数f与自身复合的次数。注意O_{x_0}=O_{f(x_0)}=O_{f^{-2}(x_0)},\ {\rm etc.}，对F_{1,\ x_0}也同样。理解叶状结构\mathcal{F}_1等效于理解映射f的动力学。若流形X已经叶化，则只要f是叶间映射，就可以利用这构造增加叶状结构的余维数。

2-环面的克罗内克叶状结构是旋转R_{\alpha}:\ S^1\to S^1（角度为\alpha\in[0,\ 2\pi)）的纬悬叶状结构。

更具体地说，若\Sigma=\Sigma_2是2洞环面，C^1,\ C^2\in\Sigma是两个嵌入圆，则\mathcal{F}是叶\Sigma\times\{y\},\ y\in S^1的3-流形的积叶状结构M=\Sigma\times S^1。注意N_i=C_i\times S^1是嵌入环，\mathcal{F}横截于N_i,\ i=1,\ 2。令{\rm Diff}_{+}(S^1)表示S^1的保向微分同胚群，并择f_1,\ f_2\in{\rm Diff}_{+}(S^1)。将M沿N_1,\ N_2切开，N_i^{+},\ N_i^{-}表示它们的副本。这时，流形M'=\Sigma'\times S_1有4个边界分量\left \{N_i^{\pm} \right \}_{i=1,2}.叶状结构\mathcal{F}横截边界\partial M'的叶状结构\mathcal{F^{\prime}}，叶的形式为\Sigma'\times\{y\},\ y\in S^1。

这片叶在4个圆C_i^{\pm} \times \{y\} \subset N_i^{\pm}中与\partial M'相遇。若z\in C_i，则C_i^{\pm}中的对应点记作z^{\pm}，N_i^{-}通过下列标识，“回到”N_i^{+}：
:(z^{-},y) \equiv (z^{+},f_i(y)), \quad i = 1,2.
由于f_1,\ f_2是S^1的保向微分同胚，因此与恒同（identity）同痕，由这操作得到的流形同胚于M。\mathcal{F^{\prime}}的叶则重新组合，产生M新的叶状结构\mathcal{F}(f_1,\ f_2)。若\mathcal{F}(f_1,\ f_2)的叶L 包含一片\Sigma'\times\{y_0\}，则
:L = \bigcup_{g \in G} \Sigma^{\prime} \times \{ g (y_0) \},
其中G\subset{\rm Diff}_+(S^1)是由\{f_1,\ f_2\}生成的子群。这些Σ'的副本通过标识彼此相连：
:\forall z\in C_1,\ (z^-,\ g(y_0))\equiv(z^+,\ f_1(g(y_0)))
:\forall z\in C_2,\ (z^-,\ g(y_0))\equiv(z^+,\ f_2(g(y_0)))

其中g在G上取值。叶完全由y_0\in S^1的G-轨道决定，可以很简单也可以很复杂。例如若相应的G-轨道有限，则叶就是紧的。举个极端的例子，若G是平凡的(f_1=f_2={\rm id}_{S^1})，则\mathcal{F}(f_1,\ f_2)=\mathcal{F}。若轨道在S^1中是稠密的，则对应的叶在M中也稠密。例如，若f_1,\ f_2是2π的有理独立倍的旋转，则每片叶都是稠密的。其他例子中，某些叶L的闭包\bar{L}与每个因子\{w\}\times S^1在康托尔集中相遇。在\Sigma\times I上也可做类似构造，其中I是紧非退化区间。这里，取f_1,\ f_2\in{\rm Diff}_+(I)，由于\partial I通过所有保向微分同胚逐点固定了，所以可得一个以\partial M的两分量为叶的叶状结构。若在这情形下形成M' ，就会得到有角叶状流形。无论哪种情形，这种构造都被称作微分同胚对的纬悬，提供了余维为1的叶状结构的有趣例子。

叶状结构与可积性
假设一切都光滑，那么向量场之间有一种密切关系：给定M上不为零的向量场X，其积分曲线将给出1维叶状结构（即余维为n-1的叶状结构）。

这观察可推广为弗罗贝尼乌斯定理，即分布（流形切丛的n − p维子丛）与叶状结构的叶相切的充分必要条件是，与分布相切的向量场集对李括号闭合。这也可以解释为，将切丛的结构群从{\rm GL}(n)约化为可约群。

弗罗贝尼乌斯定理中的条件作为可积条件出现，并断言若满足条件，就能约化，因为具有所需块结构的局部转移函数存在。例如，对某（非规范）\alpha\in\Omega^1（即非零余向量场），余维为1时可定义叶状结构的切丛为{\rm ker}(\alpha)。若处处都有\alpha\wedge{\rm d}\alpha=0，则给定的α可积。

由于存在拓扑约束，因此存在全局叶状结构理论。例如，曲面情形中，处处非零向量场只能存在于环面的有向紧曲面上。这是庞加莱-霍普夫定理的结果，指出欧拉示性数需为0。其与切触几何有很多深层联系，专门研究不可积情形。

叶状结构的存在
给出连通非紧流形上的分布与可积分布同伦的充分必要条件。证明，任意有分布的紧流形都有同维度的叶状结构。

参看
*弗罗贝尼乌斯定理
*G结构
*用叶状结构分类空间
*里布叶状结构
*紧叶状结构(Taut foliation)
脚注
参考文献
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*

外部链接

• [http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Foliations Foliations] at the Manifold Atlas