泊松流形
在数学中，泊松流形（）是一个微分流形 M 使得 M 上光滑函数代数 C∞(M) 上装备有一个双线性映射称为泊松括号，将其变成泊松代数。 每个辛流形是泊松流形，反之则不然。 定义 M 上一个泊松结构（）是一个双线性映射 :\{,\}:C^\infty(M) \times C^\infty(M) \to C^\infty(M),\, 使得这个括号反对称： :\{f,g\}=-\{g,f\},\, 服从雅可比恒等式： :\{f,\{g,h\}…
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殆复流形
在数学中，一个殆複流形（）是在每个切空间上带有一个光滑线性複结构的光滑流形。此结构的存在性是一个流形成为複流形的必要条件，但非充分条件。即每个複流形是一个殆複流形，反之则不然。殆複结构在辛几何中有重要应用。 此概念由埃雷斯曼与霍普夫于1940年代引入。 定义 设 M 是一个光滑流形。M 上一个殆複结构（）J 是在该流形每个切空间给出一个线性複结构（即平方为 -1 的线性映射），且在流形上光滑变化。换句话说，我们有一个秩为 (1,1) 的…
辛流形
微分几何中，辛流形是装备了闭非退化2-形式ω的光滑流形M，ω称为辛形式。辛流形的研究称为辛几何或辛拓扑。辛流形作为经典力学和分析力学中流形的余切丛自然出现，例如在经典力学的哈密顿表述中（这该领域的主要动机之一），系统所有可能构型的空间可以用流形建模，流形的余切丛描述了该系统的相空间。 一个辛流形上的任何实值可微函数H可以用作一个能量函数或者叫哈密顿量。和任何一个哈密顿量相关有一个哈密顿向量场；该哈密顿向量场的积分曲线是哈密顿-雅可比方程…
芬斯勒流形
芬斯勒流形(Finsler manifold)或芬斯勒几何(Finsler geometry)由瑞士數學家保羅·芬斯勒(Paul Finsler)在1918年的博士论文中提出。芬斯勒几何可以说是黎曼几何在取消掉二次型限制后的版本，与变分学密切相关。芬斯勒几何分為實數芬斯勒几何与複數芬斯勒几何，且在生物、工程、物理等领域有广泛应用。 芬斯勒流形是一个在每个切空间有巴拿赫(Banach)範數的微分流形，该巴拿赫范数是位置的光滑函数并满足以下…
切触几何
数学上，切触几何()是研究流形上的完全不可积超平面的几何。根据弗洛比尼斯定理，这个（大致来讲）可以通过叶状结构的不成立来识别。作为它的姐妹，辛几何属于偶数维的世界，而切触几何是奇数维的对应几何。 应用 切触几何和辛几何一样在物理学中有广泛的应用，例如，几何光学、经典力学、热力学、几何量子化、可積系統、以及诸如控制论这样的应用数学。它也可以用于证明有趣的事情，例如‘你总是可以平泊你的汽车，只要空间足够大’。 切触几何有很多低维拓扑中的应用…
G-结构
在微分几何中，对一个给定的结构群 G，n 维流形 M 上一个 *G-结构*是 M 的切标架丛 FM（或 GL(M)）的一个 G-子丛。 G-结构的概念包括了许多流形上其它结构，其中一些是用张量场定义的。例如，对正交群，一个 O(n)-结构定义了一个黎曼度量；而对特殊线性群，一个 SL(n,R)-结构就是一个体积形式；对平凡群，一个 {e}-结构由流形的一个绝对平行化组成。 一些流形上的结构，比如複结构，辛结构，或 凯勒结构，都是 G-结…
可平行化流形
数学中，一个 n 维光滑流形 M 为可平行化流形 是指具有向量场 :V1, ..., Vn, 使得在 M 中任何一点 P 的切向量 :Vi, P 组成 P 点切空间的一组基。等价地说，切丛是平凡丛，所以相伴的线性标架主丛有一个 M 的整体截面。 选取 M 上这样特定的一组向量场的基称为 M 的一个平行化或绝对平行化。 例子 n=1 的一個例子是圓周：我們取 V1 為單位切向量場，比如都指向逆時針方向。n 維環面也可以平行化，因為可以看作…
复流形
微分几何中，复流形（）是一个使得每个鄰域在一种连续的方式下看起来象一个複n维空间的流形。更精确的讲，一个复流形有一个坐标图册，其每个坐标图映射到Cn，并且坐标图之间的坐标变换是全纯的。 复流形可以视为微分流形的一种特例。例如，一个1维复流形几何上就是一个曲面，称为黎曼曲面。变换函数必须全纯这个要求意味着和通常的微分流形不同，不同的Ck-微分结构对于不同k没有区别，因为全纯函数解析，一次每个全纯结构也是一个Ck结构，对于任意k ≥1成立。…
黎曼流形
黎曼流形（Riemannian manifold）是一個微分流形，其中每點p的切空間都定義了點積，而且其數值隨p平滑地改變。它容許我們定義弧線長度、角度、面積、體積、曲率、函數梯度及向量域的散度。 每個Rn的平滑子流形可以导出黎曼度量：把Rn的點積都限制於切空間內。實際上，根据纳什嵌入定理，所有黎曼流形都可以這樣产生。 我們可以定義黎曼流形為和Rn的平滑子流形是等距同构的度量空間，等距是指其内蕴度量（intrinsic metric）和…
富比尼–施图迪度量
在数学中，富比尼–施图迪度量（）是射影希尔伯特空间上一个凯勒度量。所谓射影希尔伯特空间即赋予了埃尔米特形式的复射影空间 CPn。这个度量最先由圭多·富比尼与爱德华·施图迪在1904年与1905年描述。 向量空间 Cn+1 上一个埃尔米特形式定义了 GL(n+1,C) 中一个酉子群 U(n+1)。一个富比尼–施图迪度量在差一个位似（整体缩放）的意义下由这样一个 U(n+1) 作用下的不变性决定；从而是齐性的。赋予这样一个富比尼–施图迪度量…
叶状结构
的2维截面]] 微分几何中，叶状结构（）是n-流形上的等价关系，等价类是连通单射浸入子流形，都具有相同维度p，以实坐标空间\mathbb{R}^n的分解为标准嵌入子空间\mathbb{R}^p的陪集x+\mathbb{R}^p为模型。等价类称作叶状结构的叶（leaf）。若要求流形和/或子流形具有（C^r类的）分段线性、微分或解析结构，就可分别定义分段线性、微分、解析叶状结构。在最重要的C^r类微分叶状结构中，通常r ≥ 1（否则C^0就…
泊松李群
泊松李群 (Poisson-Lie group) 是一种几何结构，也是李群和泊松流形，而且两种结构自洽。它的李群直积 G\times G\longrightarrow G是泊松映射。它是經典力學和泊松几何学的有力的例子，也是表示論研究对象之一。 它在无穷小尺度的形式就是李双代数。 定义 泊松-李群是一个具有泊松括号的李群 G，其群乘法定义为 \mu:G\times G \to G，其中 \mu (g_1,g_2)=g_1g_2 为泊松映…
凯勒流形
在数学中，一个凯勒流形（）是具有满足一个可积性条件的酉结构（一个U(n)-结构）的流形。特别地，它是一个黎曼流形 、复流形以及辛流形，这三个结构两两相容。 这个三位一体结构对应于将酉群表示为一个交集： :U(n) = O(2n) \cap GL(n,\mathbf{C}) \cap Sp(2n). 若没有任何可积性条件，类似的概念是一个殆埃尔米特流形。如果辛结构是可积的（但复结构不要求），则这个概念是殆凯勒流形；如果複结构是可积的（但辛…
结构群的约化
数学中，特别是在主丛理论中，我们可问一个 G-丛能否“来自”一个子群 H 。这称为结构群的约化（，约化为 H），且对任何映射 H\to G 有意义，不必要求是包含（尽管使用了这个术语）。 定义 正式的，给定一个 G-丛 B 与映射 H → G（不必是包含），结构群的约化（从 G 到 H）是一个 H-丛 B_H 使得推出 B_H \times_H G 同构于 B。 注意到这不一定存在，如果存在也不必惟一。 作为一个实例，每个偶数维实向量空…