殆复流形
在数学中，一个殆複流形（）是在每个切空间上带有一个光滑线性複结构的光滑流形。此结构的存在性是一个流形成为複流形的必要条件，但非充分条件。即每个複流形是一个殆複流形，反之则不然。殆複结构在辛几何中有重要应用。 此概念由埃雷斯曼与霍普夫于1940年代引入。 定义 设 M 是一个光滑流形。M 上一个殆複结构（）J 是在该流形每个切空间给出一个线性複结构（即平方为 -1 的线性映射），且在流形上光滑变化。换句话说，我们有一个秩为 (1,1) 的…
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霍奇理论
在數學中，霍奇理論（英語：Hodge theory），以威廉·瓦倫斯·道格拉斯·霍奇命名，是一種使用偏微分方程研究光滑流形 M 的上同調群的方法。 其關鍵觀察在於，給定 M 上的一個黎曼度量，每個上同調類都有一個規範代表元，即在該度量的拉普拉斯算子下消失的微分形式。這樣的形式被稱為調和形式（harmonic forms）。 該理論由霍奇在 1930 年代開發，旨在研究代數幾何，它建立在喬治·德·拉姆關於德拉姆上同調的工作基礎之上。它在兩…
霍奇猜想
來檢測，其中非零類 [\alpha]\in H_\text{sing}^k(X) 的存在表明空間 X 有一個（k 維）洞。這樣的一個類由單純形的上鏈表示，如左側由 1-單純形（線段）構成的紅色多邊形所示。這個類通過圍繞洞 A 來檢測它。這個例子中，實際存在一個多項式方程，其零點集（如右側綠色所示）也通過圍繞它來檢測這個洞。霍奇猜想將這一陳述推廣到了更高維度。]] 在數學中，霍奇猜想（）是代數幾何和中一個主要的未解決問題，它將複代數簇的代…
解析空間
在數學中，解析空間是一類局部上由解析函數定義的局部賦環空間，可理解為解析版本的概形。 定義 固定一個完備域 (F, |\cdot|)（通常取 \mathbb{R} 或 \mathbb{C}）。 令 U = \{(x_1, \cdots, x_n) : \forall i \; |x_i| ，其中 n \in \mathbb{N}，令 \mathcal{O}_U 為 U 上的解析函數層。設 f_1, \ldots, f_m 為解析函數，我…