霍奇理论
在數學中，霍奇理論（英語：Hodge theory），以威廉·瓦倫斯·道格拉斯·霍奇命名，是一種使用偏微分方程研究光滑流形 M 的上同調群的方法。 其關鍵觀察在於，給定 M 上的一個黎曼度量，每個上同調類都有一個規範代表元，即在該度量的拉普拉斯算子下消失的微分形式。這樣的形式被稱為調和形式（harmonic forms）。 該理論由霍奇在 1930 年代開發，旨在研究代數幾何，它建立在喬治·德·拉姆關於德拉姆上同調的工作基礎之上。它在兩…
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霍奇猜想
來檢測，其中非零類 [\alpha]\in H_\text{sing}^k(X) 的存在表明空間 X 有一個（k 維）洞。這樣的一個類由單純形的上鏈表示，如左側由 1-單純形（線段）構成的紅色多邊形所示。這個類通過圍繞洞 A 來檢測它。這個例子中，實際存在一個多項式方程，其零點集（如右側綠色所示）也通過圍繞它來檢測這個洞。霍奇猜想將這一陳述推廣到了更高維度。]] 在數學中，霍奇猜想（）是代數幾何和中一個主要的未解決問題，它將複代數簇的代…
艾倫伯格-斯廷羅德公理
在數學的代數拓撲學中，艾倫伯格－斯廷羅德公理（）是拓撲空間的同調論的共有性質。符合這套公理的同調論的典型例子，是由塞繆爾·艾倫伯格和諾曼·斯廷羅德建立的。 同調論可以定義為符合艾倫伯格－斯廷羅德公理的函子列。這個公理化方法在1945年建立，可以用來證明只要符合公理的同調論都會有的共同結果，例如。 如果省略了其中的維數公理，那麼其餘的公理所定義的是。最早出現的廣義同調論是K-理論和。 正式定義 艾倫伯格－斯廷羅德公理用於從拓撲空間偶(X,…
同調球面
數學的代數拓撲學中，同調球面是n維流形X，具有n-球面的同調群。在此n ≥ 1是整數。換言之， :H0(X,Z) = Z = Hn(X,Z) :對所有其他i，Hi(X,Z) = {0} . 因此X是一個連通空間，僅有一個非零的高階貝蒂數bn（除了 b0=1 外）。 由於Hn(X,Z)非零，故X是緊緻及可定向的。 當n > 1時，雖然H1(X,Z) = {0}，不過並不表示X是單連通的，即X的基本群未必是平凡的，只表示其基本群是完滿群。（…