陳-韋伊同態

數學上，陳－韋伊同態（）是陳－韋伊理論的基本構造，將一個光滑流形M的曲率聯繫到M的德拉姆上同調群，也就是從幾何到拓撲。這個理論由陳省身和安德烈·韋伊於1940年代建立，是發展示性類理論的重要步驟。這個結果推廣了陳-高斯-博內定理。

記\mathbb K為實數域或複數域。設G為實或複李群，有李代數\mathfrak g，又記

:\mathbb K(\mathfrak g^*)

為\mathfrak g上的\mathbb K-值多項式的代數。設\mathbb K(\mathfrak g^)^{Ad(G)}為在 \mathbb K(\mathfrak g^)中G的伴隨作用的不動點的子代數，故對所有f\in\mathbb K(\mathfrak g^*)^{Ad(G)}有
:f(t_1,\dots,t_k)=f(Ad_g t_1,\dots, Ad_g t_k) \, 。

陳－韋伊同態是從\mathbb K(\mathfrak g^)^{Ad(G)}到上同調代數H^(M,\mathbb K)的一個\mathbb K-代數同態。這個同態存在，且對M上任何主G-叢P有唯一定義。若G緊緻，則於此同態下，G-叢BG的分類空間的上同調環同構於不變多項式的代數\mathbb K(\mathfrak g^*)^{Ad(G)}：
:H^(B^G, \mathbb{K}) \cong \mathbb K(\mathfrak g^)^{Ad(G)}.
對於如SL(n,R)的非緊緻群，可能有上同調類無不變多項式的表示。

同態的定義
取P 中任何聯絡形式w，設\Omega為相伴的曲率2-形式。若f\in\mathbb K(\mathfrak g^)^{Ad(G)}是k次齊次多項式，設 f(\Omega)是P上的2k*-形式，以下式給出

:f(\Omega)(X_1,\dots,X_{2k})=\frac{1}{(2k)!}\sum_{\sigma\in\mathfrak S_{2k}}\epsilon_\sigma f(\Omega(X_{\sigma(1)},X_{\sigma(2)}),\dots,\Omega(X_{\sigma(2k-1)}, X_{\sigma(2k)}))

其中\epsilon_\sigma是2k個數的對稱群\mathfrak S_{2k}中置換\sigma的符號。（見普法夫值。）

可證

:f(\Omega)

是閉形式，故

:df(\Omega)=0, \,

且f(\Omega) \, 的德拉姆上同調類獨立於在P上的聯絡的選取，故只依賴於主叢。

因此設

:\phi(f) \,

是由上從f得出的上同調類，故有代數同態

:\phi:\mathbb K(\mathfrak g^)^{Ad(G)}\rightarrow H^(M,\mathbb K). \,

參考

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• Shiing-Shen Chern, Complex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0.

*:The appendix of this book: "Geometry of Characteristic Classes" is a very neat and profound introduction to the development of the ideas of characteristic classes.

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