李群（，）是一个数学概念，指具有群结构的光滑微分流形，其群作用與微分结构相容。李群的名字源於挪威数学家索菲斯·李的姓氏，以其為連續變換群奠定基礎。1893年，法文名詞groupes de Lie首次出現在李的學生亞瑟·特雷斯（Arthur Tresse）的論文第三頁中。

粗略地说，李群是连续的群，也即其元素可由几个实参数描述。因此，李群为连续对称性的概念提供了一个自然的模型，例如三维旋转对称性。李群被广泛应用于现代数学和物理学。索菲斯·李引入李群的最初动机是为微分方程的连续对称性建模，就像有限群被用于伽罗瓦理论对代数方程的离散对称性建模一样。

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为1的复数集（对应于复平面上圆心在原点、半径为1的单位圆）是一个在复数乘法下的李群，称为圆群。]]

李群是光滑可微流形，因而可以用微分学来研究，这点与更一般的拓扑群不同。李群理论中的关键是替换掉“全局”的对象，也即群本身，而代之以其“局部”或线性化的版本。这个局部版本被索菲斯·李本人称为该李群的“无穷小群”，而后来以“李代数”为人熟知。

李群在现代几何学中在多个层面扮演了重要的角色。费利克斯·克莱因在他的爱尔兰根纲领中认为，可以通过选定适当的保持某种几何性质不变的变换群来考察各种“几何”。例如，欧氏几何对应于欧式空间R3中保距变换构成的欧几里得群E(3)；共形几何对应于把群扩大到共形群；而在射影几何中引起人们兴趣的是射影群的不变属性。这个观念后来发展为G-结构的概念，其中G是流形"局部"对称性形成的李群。

李群（以及与之关联的李代数）在现代物理学中起到了重要作用，并通常扮演了物理系统中的对称性。这里，李群表示或相应的李代数表示尤为重要。 表示理论在粒子物理中被频繁使用。一些具有较为重要的表示的群包括旋转群SO(3)（或其双覆盖特殊酉群SU(2))，特殊酉群SU(3)以及庞加莱群。

定义与样例
*G为有限维实解析流形
*两个解析映射，二元运算G \times{} G \rightarrow{} G，和逆映射G \rightarrow{} G满足群公理，从而具有群结构。

实李群是一个满足下列条件的群：它也是一个有限维实光滑流形，其中群的乘法和求逆操作是光滑映射。 群乘法的光滑性

: \mu:G\times G\to G\quad \mu(x,y)=xy

意味着\mu是一个从积流形G \times G到G的光滑映射。这两个条件可以合并成一条，即映射

:(x,y)\mapsto x^{-1}y

是一个从积流形G \times G到G的光滑映射。

初步的样例

• 所有2\times 2实可逆矩阵构成了一个乘法群，记作GL(2, \R)或GL_2(\R):

:: \operatorname{GL}(2, \R) = \left\{A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}: \det A=ad-bc \ne 0\right\}.

: 这是一个非紧致的四维实李群；它是\mathbb \R^4的一个开子集。这个群是非连通的；它有两个连通分量，对应于行列式的正负两种情况。

• 旋转矩阵构成了GL(2, \mathbf{R})的一个子群，记为SO(2, \mathbf{R})。它自己本身也是一个李群：具体地说，它是一个与圆微分同胚的一维紧致连通李群。使用旋转角\varphi 作为参数，这个群可以被参数化为如下形式：

:: \operatorname{SO}(2, \mathbf{R}) =\left\{\begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{pmatrix}: \varphi\in\mathbf{R}/2\pi\mathbf{Z}\right\}.
:其中，角度的加法对应于SO(2, \mathbf{R})中元素的乘法，角度的相反数对应于逆元。因此，乘法和求逆操作也都是可微映射。

• 一维仿射群是一类二维上三角阵组成的李群，其中第一个对角线上的元素为正，第二个对角线上的元素为1。因此，该群包含了如下形式的矩阵：

:: A= \left( \begin{array}{cc} a & b\\ 0 & 1 \end{array}\right),\quad a>0,\, b\in\mathbb{R}.

反例
现在我们给出一个群的例子，它拥有不可数的元素，并且在某种拓扑下不是李群。我们给定如下群：

:H = \left\{\left .\left(\begin{matrix}e^{2\pi i\theta} & 0\\0 & e^{2\pi ia\theta}\end{matrix}\right) \right| \theta \in \mathbb{R}\right\} \subset \mathbb{T}^2 = \left\{\left .\left(\begin{matrix}e^{2\pi i\theta} & 0\\0 & e^{2\pi i\phi}\end{matrix}\right)\right| \theta, \phi \in \mathbb{R}\right\},
其中a \in \mathbb P = \mathbb R\setminus\mathbb Q是一个固定的无理数。这是一个环面 \mathbb T^2 的子群，它在子空间拓扑下不是李群。比如说，如果我们取H中的一个点h的任意小邻域U，那么H在 U中的部分是不连通的。群H在环面上反复缠绕，形成了一个\mathbb T^2的稠密子群。

另一方面，我们可以给群H指定另一个拓扑，使得两点h_1,h_2\in H之间的距离被定义为群H中连结 h_1和h_2的最短路径长度。在这个拓扑下，H通过其元素中对应的\theta与实直线同胚。在这种拓扑下，H仅仅是加法意义下的实数群，因此也是李群。

群H是李群的一个非闭"李子群"的样例。可参见下面基本概念部分关于李子群的讨论。

矩阵李群
用表示复数域上的可逆矩阵。的任何闭子群也是一个李群；这类李群被称为矩阵李群。
由于李群中大多数有趣的例子都可以用矩阵李群实现，一些教科书把注意力限制在这类李群上，包括Hall以及 Rossmann等，这样可以简化李代数和指数映射的定义。下面是一些矩阵李群的标准样例：
*定义在R和C上的特殊线性群和，分别包括了元素属于R或C的、行列式为1的矩阵。
酉群U(n)（以及特殊酉群SU(n)）, 包含了满足U^=U^{-1}（对于特殊酉群而言，还需满足\mathrm{det}(U)=1）的复矩阵。
正交群O(n)（以及特殊正交群SO(n*)），包含了满足R^\mathrm{T}=R^{-1} （对于特殊正交群而言，还需满足\mathrm{det}(R)=1）的实矩阵。
以上列举的群均为经典群。

相关概念
与实李群相对应，复李群是在复流形上定义的（例如）。类似地，使用一种Q的度量完备化我们可以在 p-进数上定义*p-进数李群*，一种满足每个点都有一个p*-进数邻域的拓扑群。

更多李群的样例
李群经常出现在数学和物理学中。矩阵群或代数群（大部分情况下）是由矩阵构成的群（例如正交群和辛群），而这些也是李群最常见的例子。

一维李群
一维情况下唯二的连通李群是实直线\mathbb{R} （其群操作为加法）和由绝对值为1的复数组成的圆群 S^1 （其群操作为乘法）。 S^1也常被记作U(1)，即1\times 1酉群。

二维李群
在二维情况下，如果我们只考虑简单连通群，那么可以通过它们的李代数来分类。若把同构的情况归为一类，那么此时只存在两种李代数。与这两种李代数关联的简单连通李群分别是\mathbb{R}^2（其群操作为向量加法）以及一维仿射群（在前面的小节"初步的样例"中有介绍）。

解析李群与光滑李群
部份书籍在定义李群时假设了解析性，本条目採相同定义。另一种进路则是定义李群为实光滑（简记为C^\infty）流形，并具有光滑的群二元运算与逆元运算。解析条件看似较强，实则两者等价：

定理.任意C^\infty李群上具有唯一的实解析流形结构，使得群二元运算及逆元运算皆为解析映射。此时指数映射亦为解析映射。

同态和同构
G,H均为李群，二者之间的一个同态：f\,:G\rightarrow H为群同态并且是解析映射（事实上，可以证明这里解析的条件只需满足连续即可）。显然，两个同态的复合是同态。所有李群的类加上同态构成一个范畴。
两个李群之间存在一个双射，这个双射及其逆射均为同态，就称之为同构。

李代数
李代數刻劃了李群在單位元附近的局部性狀；藉助指數映射或源自李代數的葉狀結構，可以將李代數的性質提昇到李群的層次。

設G為李群，其李代數\mathfrak{g}定義為G在單位元的切空間。\mathfrak{g}自然具備了矢量空間結構，\mathfrak{g}上的李括積[,]: \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}定義如下：

定義G對自身的伴隨作用為 \mathrm{Ad}(x)(y) := x y x^{-1}，x,y \in G。

取Ad對變元y \in G在單位元上的微分，得到李代數上的伴隨作用，通常記為\mathrm{Ad}(x)(Y) = x Y x^{-1}，x \in G, Y \in \mathfrak{g}。

再對變元x \in G微分，得到映射\mathrm{ad}: \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}。定義李括積為[X,Y] := \mathrm{ad}(X)(Y)。

不難驗證[,]滿足李代數的抽象定義。李括積蘊含了群乘法的無窮小性質，例如：連通李群G是交換群若且唯若\mathfrak{g}是交換李代數。

李括積也可以用左不變矢量場及泊松括號定義，或者取定局部坐標，用群乘法映射在原點的泰勒級數定義。

李群對應李代數
若G是李群，H \subset G是其子群，並帶有李群結構，使得包含映射H \to G為浸入（不一定是閉的），則可得到子李代數\mathfrak{h} \subset \mathfrak{g}。反之，任意子李代數\mathfrak{h}透過左平移定義了G上的葉狀結構，取含單位元的極大積分流形，便得到滿足前述條件的子群H \subset G。此子群未必是閉子群，它可能是G的稠密子集（考慮環面的例子）。

李代數的映射\mathfrak{g}_1 \to \mathfrak{g}_2未必能提昇至李群的映射G_1 \to G_2，但可提昇至映射\tilde{G}_1 \to G_2，其中\tilde{G}_1是G_1的萬有覆疊空間。

指數映射
對於任意矢量X \to \mathfrak{g}，根據常微分方程式的基本理論，存在G中的單參數子群c_X(t), c_X(0)=e使得c_X'(t) = c_X(t) \cdot X。由此得到的映射
: \mathrm{exp}: \mathfrak{g} \to G
: X \mapsto c_X(1)
稱為指數映射。它總是解析映射。

若G為\mathrm{GL}(n)的子群，則\mathrm{exp}(X) = \sum_{i=0}^\infty \frac{X^i}{i!}，這是指數映射一詞的緣由。

當G連通且非交換時，指數映射\mathfrak{g} \to G並非同態；局部上，\mathrm{exp}(X)\mathrm{exp}(Y)可以由Campbell-Baker-Hausdorff公式表成涉及括積的無窮級數。

一般體上的李群
在任意體、環乃至於概形上，都可以定義群概形；這是概形範疇中的群對象。群概形具有深刻的幾何與數論意義，然而李群未必是代數簇。

另一方面，若域F對某個絕對值是完備域，其特徵為零，則可照搬解析李群的定義以定義體F上的李群、李代數與指數映射。較常見的例子是F=\mathbb{C}；至於數論方面，特別涉及自守表示的研究上，則須用到F為p進數體的情形。

參考條目
*李型群

参考文献
引用
来源

• D. Montgomery and L. Zippin, Topological Transformation Groups (1955), Interscience.
• Anthony W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction (2004), Birkhäuser. ISBN 0817642595 .
• Jean-Pierre Serre, Lie algebras and Lie groups (2005), Lecture Notes in Mathematics 1500, Springer-Verlag. ISBN 3540550089 .