乌雷松度量化定理
乌雷松度量化定理（）给出了一个拓扑空间可度量化的充分条件。一个拓扑空间 (X,\tau) 上，若能定義一个度量 d\colon X \times X \to [0,\infty) 使得拓扑 \tau 由 d 诱导产生，就稱為可度量化。 内容 定理斷言如果一个拓扑空间X是正则的，且有一组可数基（即第二可數），那么X是可度量化的。 例如，由定理能推論出，每個第二可數的流形都可度量化。 歷史上，安德烈·尼古拉耶维奇·吉洪诺夫在 1926 年證…
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共 21 篇文章
门空间
在数学中，特别是在拓扑学领域，如果每个子集都是开放的或封闭的（或两者兼而有之），则拓扑空间被称为门空间。该术语来自介绍性拓扑助记符，即“子集不像一扇门：它可以是打开的、关闭的、两者兼而有之，或者两者都不是”。 属性和示例 每个门空间都是T 0 （因为如果x和y是两个拓扑上不可区分的点，单点\{x\}既不开放也不封闭。 门空间的每个子空间都是门空间。 门空间的每个商也是如此。 集合上每个比门拓扑更精细的拓扑X也是一种门拓扑结构。 每一个离…
离散空间
在拓扑学和相关数学领域中，离散空间（）指一种特别简单的拓扑空间或相似的结构，在其中点都在特定意义下是相互孤立的。 离散拓扑是可以在集合上给出的最精细的拓扑。离散拓扑中的每个子集都是开集，因此每个单子集也都是开集。 定义 给定集合X: 在X上的离散拓扑是通过X的所有子集是开集（因此也是闭集）而定义的。如果X配备了它的离散拓扑，则X组成了离散拓扑空间； 在X上的离散一致是通过令X × X中的对角集\{(x,x) : x \in X\}的所有…
可收缩空间
若拓扑空间X上的恒等映射是零伦的（即与某常数映射同伦），则称拓扑空间是可收缩空间。直观地说，可收缩空间就是可以不断收缩到某点的空间。 性质 可收缩空间是具有点的同伦类的空间；可见，可收缩空间的所有同伦群都是平凡群。因此，任何具有非平凡同伦群的空间都不可收缩；由于奇异同调是同伦不变量，因此可收缩空间的既约同调群都是平凡的。 对拓扑空间X，下面这些情况等价： *X是可收缩的（即恒等映射零伦） *X与单点空间同伦等价 *X可收缩到一点上（不过…
正规空间
在拓扑学和相关的数学分支中，正规空间（）、T4 空间、T5 空间和 T6 空间是特别优秀的一类拓扑空间。这些条件是分离公理的个例。 定义 假定 X 是拓扑空间。X 是正规空间，当且仅当给定任何不相交闭集 E 和 F， 存在 E 的邻域 U 和 F 的邻域 V 也是不相交的。用較花巧的术语说，这个条件声称 E 和 F 是由邻域分离的。 X 是 T4 空间，如果它是正规空间和豪斯多夫空间。 X 是完全正规空间或继承正规空间，如果所有 X 的…
拓扑流形
在數學中，拓撲流形（ topological manifold ）是一個「局部上看起來像是 \R^n 」的拓樸空間，是微分幾何的主要研究對象。所有其他類型的流形（ manifolds ）都是帶有額結構的拓撲流形。例如可微流形是一個帶有額外的「微分結構」的拓撲流形；而光滑流形則要求這個「微分結構」要是無窮可微的。 形式定義 一個 n 維拓撲流形（或簡稱流形）是一個拓撲空間 M ，滿足以下性質： M 是豪斯多夫空间。 M 是第二可數空間。 …
完全不连通空间
在拓扑学和相关的数学分支中，完全不连通空间是没有非平凡连通子集的拓扑空间。在所有拓扑空间中空集和单点集合是连通的，而在完全不连通空间中它们是仅有的连通子集，在此意义上，完全不连通空间是极大不连通。 完全不连通空间的重要例子是康托尔集合。另一个例子是在代数数论中扮演关键角色的p进数的域 Qp。 定义 拓扑空间 X 是完全不连通，如果在 X 中的连通分支是单点集合。 例子 下面是完全不连通空间的例子: 离散空间。 有理数空间。 无理数空间。…
序列紧
在數學上, 若一個拓撲空間裏，每個無窮序列都有收斂子序列，則稱該拓撲空間序列緊（）。 雖然對於度量空間，緊等價於序列緊，但是對於一般的拓撲空間來說，緊（）和序列緊是兩個不等價的性質。 例子和性質 實數軸上的標準拓撲不是序列緊的，例如 便是一個沒有收斂子序列的序列。但由波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理可知所有\mathbb{R}上的閉區間導出的子空間拓撲都是序列緊的。 對於度量空間，序列緊與緊等價。 然而，一般情況下，存在序列緊而非緊的拓撲空間…
局部緊
拓撲學及數學的相近分支中，局部緊拓撲空間的每小塊，單獨看來，都很類似緊空間的一小塊。準確而言，其每點周圍都有一個緊鄰域。 數學分析尤其關注豪斯多夫的局部緊空間，常以「局部緊豪斯多夫」（）的首字母簡稱為LCH空間。 嚴格定義 設X為拓撲空間。通常稱X局部緊的意思是，X的每點x，都有緊鄰域，即開集U和緊集K，令x \in U \subseteq K。 也有其他常見定義。下列定義在X豪斯多夫（預正則空間亦然）時皆等價，但一般則不一定： :1.…
紧空间
在数学中，特別是點集拓撲學中，緊空間（）是對欧几里得空间\mathbb{R}^n中的有界閉集合的推廣。 欧几里得空间\mathbb{R}^n的所有有界閉集合是紧致的。例如，在\mathbb{R}中，单位区间[0, 1]是紧致的，但整数集合\mathbb{Z}不是（它不是有界的），半开区间[0, 1)也不是（它不是闭合的）。 廣義的定義是如果對於一个拓撲空間的所有开覆盖，都可以找到有限的子覆盖，則稱此拓撲空間是紧致的。根據海涅-博雷尔定理…
海涅-博雷尔定理
在数学分析中，海涅-博雷尔定理（）或有限覆盖定理、博雷尔-勒贝格定理（），以愛德華·海涅和埃米尔·博雷尔命名。斷言： 对于欧几里得空间 Rn 的子集 S，下列两个陈述是等价的: S 是闭合并且有界的 所有 S 的开覆盖有有限子覆盖，也就是说 S 是紧致的。 在实分析的文章中，前面性质有时用做紧致性的定义性质。但是在考虑更一般的度量空间的子集的时候这两个定义就不再等价了，在这种一般情况下只有后者还用于定义紧致性。事实上，对任意度量空间的 …
豪斯多夫空间
在拓扑学和相关的数学分支中，豪斯多夫空间、分离空间或T2空间（Hausdorff space, separated space or T2 space）是其中的点都“由邻域分离”的拓扑空间。在众多可施加在拓扑空间上的分离公理中，“豪斯多夫条件”是最常使用和讨论的。它蕴涵了序列、网和滤子的极限的唯一性。直观地讲，这个条件可用个双关语来形容：如果某空间中任两点可用开集合将彼此“豪斯多夫”开来，该空间就是“豪斯多夫”的。 豪斯多夫得名于拓扑学…
连通空间
在拓扑学及相关的数学領域中，连通空间是指不能表示为两个或多个不相交的非空开集的并集的拓扑空间。 定义 如果拓扑空间X中存在兩個分離的非空开集A,B使得它們的并集等於X，則X被稱作不连通的，否則稱它是連通的。 對拓扑空间X，以下條件為等價的： X連通，即X不能表示为两个分離的非空开集的并集。 X只有\emptyset和X這兩個平凡的閉開集。 所有從X到\{0,1\}的連續函數都是常數函數，其中空間\{0,1\}由兩點集的離散拓撲構成。 连…
單連通
單連通是拓撲學中拓撲空間的一種性質。直觀地說，單連通空間中所有閉曲線都能連續地收縮至一點。此性質可以由空間的基本群刻劃。拓扑空间的基本群是一个空间是否为单连通的标志：当且仅当空间的基本群是當然群时，道路连通的拓扑空间是单连通的。 定義 考慮道路連通的拓撲空間X。若拓撲空間X 中的任意閉曲線皆同倫等價於一個點，則稱該空間為單連通的。 換言之， 拓撲空間X 是单连通的充要条件为：對任意連續映射 : \gamma: \mathrm{S}^1 …
負維空間
在拓樸學中，負維空間是將一般的空間維度向負整數的拓展，表示一個維度比零維空間還要低的空間。例如在中，以負一維空間來表示維度比零維還小的空多胞形。除了負一維，當然也能有負二、負三甚至更低的維，而維度在此就不能解釋為是數學中獨立參數的數目，而是拓樸空間維度於負數的推廣。 定義 假設是郝斯多夫維數的紧空间且是互相嵌入的緊空間元素並令參數t為零到無限（）。若緊空間中構成這些元素都是時，這個尺度就能視為與等價。這時就可以說紧空间是這個尺度等價集合…
林德勒夫空間
Lindelöf 空間是每個開覆盖都有可數子覆蓋的拓撲空間。注意緊空間的定義為每個開覆蓋都有有限子覆蓋，因此林德勒夫空間可以視為緊空間的推廣。如果一個拓樸空間的所有子空間都是 Lindelöf 空間，那麼這個拓樸空間我們稱之為可傳 Lindelöf 空間 (Hereditarily Lindelöf Space) 或強 Lindelöf 空間，但後者因為模糊且容易混淆而較少使用。 Lindelöf 空間是以芬蘭數學家 Ernst Leo…
N-连通
在数学的分支拓扑学中，一个拓扑空间 X 称为 *n-连通*的当且仅当它是道路连通的且其开始 n 个同伦群为平凡群，即 :\pi_i(X) \equiv 0~, \quad 1\leq i\leq n , 这里左边是第 i 个同伦群的记号。道路连通的条件也能表达为 0-连通，当定义“0 维同伦群”为： :\pi_0(X) := [S^0, X]. 一个拓扑空间 X 是道路连通的当且仅当其 0 维同伦群消失，因为道路连通性意味着 X 中任何…
第一可數空間
在拓撲學上，第一可數空間（First-countable space）是指有可數的邻域基的拓撲空間，即對於x \in X，存在x的開鄰域序列U_1,U_2,U_3,...，使得對於任意的鄰域V，存在整數i使得U_i \subseteq V。 例子與反例 大部份數學中的常見空間為第一可數的，像是所有度量空間皆為第一可數，要證明此點，只要注意到所有以x為中心，半徑為1/n，n為正整數的開球，形成了於x點的可數局部基。 一個無限集（像是實數線…
第二可數空間
第二可數空間是指有一個可數基的拓撲空間，我们也将“具备可數基”这一性质当作一条公理（第二可数性公理）放在第二可數空間的定义中（与“有限交，任意并”一同）。 若一個空間是第二可數的，它亦是第一可數、可分和Lindelöf的。 這裡不是「若且唯若」的。例子有Sorgenfrey直線。 第二可數性是可傳子的。 有無限個第二可數空間，若只有可數個是平凡拓撲空間，則這些空間的積空間是第二可數空間。 第二可數空間的基數不大於無限可數集的冪集的基數。…
Luzin space
在数学中，以Nikolai Luzin命名的Luzin空间（或Lusin空间）是不可数的拓扑T 1空间，其没有孤立点，每个无处稠密的子集都是可数的。Luzin空间的定义有许多细微的变化：T 1条件可以用T 2或T 3代替，并且一些作者允许空间中存在可数甚至任意数量的孤立点。