局部緊

拓撲學及數學的相近分支中，局部緊拓撲空間的每小塊，單獨看來，都很類似緊空間的一小塊。準確而言，其每點周圍都有一個緊鄰域。

數學分析尤其關注豪斯多夫的局部緊空間，常以「局部緊豪斯多夫」（）的首字母簡稱為LCH空間。

嚴格定義
設X為拓撲空間。通常稱X局部緊的意思是，X的每點x，都有緊鄰域，即開集U和緊集K，令x \in U \subseteq K。

也有其他常見定義。下列定義在X豪斯多夫（預正則空間亦然）時皆等價，但一般則不一定：
:1. X的每點皆有緊鄰域；
:2. X的每點皆有閉的緊鄰域；
:2′. X的每點皆有鄰域；
:2″. X的每點皆有鄰域組成的局部基；
:3. X的每點皆有緊鄰域組成的局部基；
:3′. 對X的每點x，x的每個鄰域都包含其一個緊鄰域；
:4. X為豪斯多夫，且滿足前述以上全部條件。

上述條件中的邏輯關係有：
*條件2、2′、2″等價；
*條件3、3′等價；
*條件2、3互不推出對方；
*全部皆推出條件1；
*緊空間必定滿足條件1、2，條件3則不必。

條件1或較常用作定義，因為最易滿足，且當X豪斯多夫時，全部條件皆與條件1等價。要證明等價，用到兩個性質：其一，豪斯多夫空間的緊子集必為閉；其二，緊空間的閉子集必為緊。

由於條件2′、2″用相對緊集定義，滿足該條件的空間可以更明確稱為局部相對緊，而與局部緊空間區分。斯蒂恩（Steen）及澤巴赫（Seebach）稱條件2、2′、2″為強局部緊，而稱條件1為局部緊。

採用條件4的例子有布爾巴基。應用中，局部緊空間通常的確豪斯多夫，從而無需區分上述定義。本條目主要討論此種局部緊豪斯多夫（LCH）空間。

例子與反例
緊豪斯多夫空間
緊豪斯多夫空間必然局部緊，此種例子見於條目緊空間，略舉三例如下：

• 單位區間[0, 1]、
• 康托爾集、
• 。

局部緊但不緊的豪斯多夫空間
*歐氏空間\mathbb R^n（特例有數軸\mathbb R）為局部緊（海涅-博雷尔定理的推論）。
*拓撲流形的局部性質與歐氏空間一樣，故亦為局部緊，甚至長直線之類的非仿緊的流形亦然。
*離散空間皆局部緊及豪斯多夫（其為零維流形）。僅當離散空間為有限集時，該空間為緊。
*任意局部緊豪斯多夫空間的開或閉子集，在子空間拓撲的意義下，皆為局部緊。由此有歐氏空間局部緊子集的若干例子，如單位圓盤（不論開或閉）。
*p進數空間\mathbb Q_p為局部緊，因為同胚於康托爾集刪去一點。因此，局部緊空間不只在古典數學分析中有用，在P進數分析亦然。

非局部緊的豪斯多夫空間
若豪斯多夫空間為局部緊，則必為吉洪諾夫空間，詳見下節。條目吉洪諾夫空間中，可以找到若干例子，是豪斯多夫空間但非吉洪諾夫，故必不局部緊。

此外，也有吉洪諾夫空間非局部緊，例如：

• 有理數空間\mathbb Q（配備\mathbb R的子空間拓撲），因為每個鄰域都有柯西序列收斂到無理數，而不在\mathbb Q中，從而不是緊鄰域。
• \mathbb{R}^2的子空間\{(0, 0)\} \cup ((0, \infty) \times \mathbf{R})，因為原點並無緊鄰域。
• 實數集\mathbb R的下限拓撲（上限拓撲亦同），適用於研究。
• 任何無窮維拓撲向量空間，但要柯爾莫果洛夫（T0，從而豪斯多夫），例如無窮維的希爾伯特空間。

首兩個例子說明，局部緊空間的子集不必局部緊，與前節開（或閉）子集的情況相對。末一個例子，則與前節歐氏空間的情況相對；具體言之，豪斯多夫拓撲向量空間為局部緊，當且僅當其為有限維（等同歐氏空間）。此例亦與作為緊空間的情況相對，但並無矛盾，因為希爾伯特立方不能是希爾伯特空間某點的鄰域。

非豪斯多夫的局部緊空間

• 有理數空間\mathbb Q的是緊空間，從而在意義1及2下是局部緊，但在意義3下則不然。
• 任何無窮集上的在意義1及3下是局部緊，但在意義2下則不然，因為任何鄰域的閉包皆是整個空間，故不為緊集。實軸上的也同樣。
• 所以，若取前兩項例子的，則在意義1下局部緊，但在意義2及3下不然。
• 謝爾賓斯基空間在意義1、2、3下皆局部緊，且是緊空間，但不是豪斯多夫空間（甚至並不預正則），故不是意義4下的局部緊空間。可數多個謝爾賓斯基空間的不交並（同胚於亞爾馬·埃克達爾拓撲（Hjalmar Ekdal topology））非緊，但仍是意義1、2、3下的局部緊空間，而不是意義4下的局部緊空間。

性質
局部緊的必為吉洪諾夫空間（完全正則）。由此推論，局部緊的豪斯多夫空間亦為吉洪諾夫空間。由於「正則」比「預正則」（通常稍弱）或「完全正則」（通常稍強）更常用，文獻一般稱此類空間為局部緊正則空間。同理，局部緊的吉洪諾夫空間一般稱局部緊豪斯多夫空間。

局部緊豪斯多夫空間必為。換言之，貝爾綱定理適用於此類空間：取任意可數多個無處稠密集，其並集的內部必為空集。

局部緊豪斯多夫空間Y的拓撲子空間X也是局部緊，當且僅當X是Y某兩個閉子集之差。由此推論，局部緊豪斯多夫空間Y的子空間X為局部緊當且僅當X是開子集。若將Y放寬成任意豪斯多夫空間，則由子空間X局部緊，仍能推出X為Y某兩個閉子集之差，反之則不然。

局部緊空間的商空間必為緊生成。反之，緊生成空間必為某個局部緊豪斯多夫空間的商。

對局部緊空間而言，與緊收斂等價。

無窮遠點
設X為局部緊豪斯多夫空間，則X作為吉洪諾夫空間，固然能藉斯通－切赫緊化，嵌入到緊豪斯多夫空間b(X)，但有了局部緊的特殊性質，則有更簡單的方法嵌入到緊豪斯多夫空間，稱為**'。新空間a(X)僅比X多一點。（單點緊化適用於其他空間，但所得的a(X)為豪斯多夫，當且僅當X本身是局部緊且豪斯多夫。）所以，局部緊豪斯多夫空間也可以刻劃成緊豪斯多夫空間的開子集。

a(X)多出的一點可直觀視為無窮遠點，此點不在X的任何緊子集中。因此，所謂趨向無窮之事，有一些可藉此以局部緊豪斯多夫空間闡明。
舉例，定義在X上的連續實值或f稱為消失於無窮遠，是指給定任意正實數\varepsilon，X皆有緊子集K，使|f(x)| 對K外的一切點x成立。前述定義適用於任意拓撲空間X，而在X為局部緊豪斯多夫的特例，等價於f能延拓成單點緊化a(X) = X \cup \{ \infty \}上的連續函數g，使g(\infty) = 0。

消失於無窮遠的連續複值函數之集合C_0(X)是C代數。反之，可交換的C代數必同構於某個局部緊豪斯多夫空間X的C_0(X)，其中X在同胚意義下唯一。以範疇言之，局部緊空間範疇與交換C*代數範疇對偶，其證法用到。前一範疇中，X加入無窮遠點，變成a(X)之事，在後一範疇對應向C_0(X)添加單位元。

局部緊群
拓撲群論中，局部緊是重要概念，因為每個豪斯多夫G都自然配備哈爾測度，因而在G上定義可測函數的積分。實數軸\R的勒貝格測度為其特例。

A的龐特里亞金對偶為局部緊，當且僅當A是局部緊。又以範疇言之，龐特里亞金對偶是局部緊交換群範疇的自對偶。研究局部緊交換群，為調和分析奠下基礎。此領域現也研究非交換的局部緊群。

參見
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參考文獻