穩定流形

在数学动力系统的研究中，稳定（或不稳定）流形指的是以指数率趋向（或远离）某一不变集的点的集合。

定义
以下提供迭代函数或離散動態系統情況下的定義。类似的概念适用于时间演变是由流给出的系统。

令M是拓扑空间，f\colon X\to X是同胚的。如果p是f的不動點，p的穩定集定義為

: W^s(f,p) =\{q\in X: f^n(q)\to p \mbox{ as } n\to \infty \}.

而p的不稳定集定義為

: W^u(f,p) =\{q\in X: f^{-n}(q)\to p \mbox{ as } n\to\infty \}.

其中f^{-1} 是f的反函數。

如果p是一個周期為k 的週期點，那麼他就是f^{k}的不動點，而且對其穩定集和不穩定集有

:\begin{align}
W^s(f,p)&=W^s(f^k,p),\\
W^u(f,p)&=W^u(f^k,p).
\end{align}

給定p的邻域{U}，p的局部穩定和不穩定集分別定義為

:\begin{align}
W^s_{\mathrm{loc}}(f,p,U) &= \{q\in U: f^n(q)\in U\;\forall n\in\mathbb{N}\cup\{0\}\},\\
W^u_{\mathrm{loc}}(f,p,U) &= W^s_{\mathrm{loc}}(f^{-1},p,U).
\end{align}

如果 X可度量化，那麼對任意點p也可以定義稳定和不稳定集為

: \begin{align}
W^s(f,p)&= \{q\in X: d(f^n(q),f^n(p))\to 0 \mbox { for } n\to \infty \},\\
W^u(f,p)&= W^s(f^{-1},p),
\end{align}

其中d是X 的度量（這個定義清楚的會和前面週期點的情況相符合）。

相關條目
*极限集合
*朱利亚集合
*中心流形
*穩定流形定理

參考資料
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*This article incorporates material from [https://planetmath.org/node/34357 Stable manifold] on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.