莱夫谢茨对偶

在数学上，莱夫谢茨对偶是庞加莱对偶的一种拓展，使得最初的庞加莱对偶可以作用于带边流形 。它最初由莱夫谢茨于1926年提出。

定理（莱夫谢茨对偶）
令 M 是 n
维可定向紧流形，边界为 N ，令 z 为M 的定向所決定的基本类。与 z 的杯积诱导了 M 的（上）同调群和 (M,N) 的相对（上）同调群的配对；由此便可得到

H^{k}(M,N)\cong H_{n-k}(M)

与

H_{k}(M,N)\cong H^{n-k}(M)

这里的 N 实际上可以是空的，此时，莱夫谢茨对偶退化为庞加莱对偶。

实际上，若 N 可以分解为具有共同边界的两个可定向紧流形 A、B，则有下式：

: D_M: H^p(M,A; \mathbb{Z})\to H_{n-p}(M,B; \mathbb{Z}).

参考