在拓扑学的相关领域中，拓撲基() 是某種特殊集合族，它們的任意并集構成了一個拓扑空間的開集。基在拓扑学的作用是簡化證明，許多拓撲的性質可轉換成基的性質，像是拓撲意義下的连续就可以直接對基來做定義。

動機
拓撲基的動機是想定義一群特殊的子集，它們的任意并集都是「开」的；嚴謹來說，令 \mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X) 為集合 X 的一個子集族，希望 \mathcal{F} 內任意一群子集之并集所組成的 \mathcal{U} ：

: \mathcal{U}
:=
\left\{
U \in \mathcal{P}(X) \,\bigg|\,
(\exists \mathcal{A})\left[
(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F})
\wedge
\left(\bigcup\mathcal{A} = U \right)
\right]
\right\}

為 X 上的拓扑。

{{math_theorem
| math_statement =

集合 X 有子集族 \mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X) ， 設 ：

:
\mathcal{U}
:=
\left\{
U \in \mathcal{P}(X) \,\bigg|\,
(\exists \mathcal{A})\left[
(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F})
\wedge
\left(\bigcup\mathcal{A} = U \right)
\right]
\right\}

則「 \mathcal{U} 為 X 上的拓扑 」，等價於以下兩條件：

*
\bigcup\mathcal{F} = X

• 對所有 B_1,\,B_2 \in \mathcal{F} ，B_1 \cap B_2 \in \mathcal{U}

| name = 定理
}}
:

一般會根據无限并集性質的定理(4)，將第二個條件等價的寫為：
: 「對所有 B_1,\,B_2 \in \mathcal{F} ，
B_1 \cap B_2
=
\bigcup [\mathcal{F} \cap \mathcal{P}(B_1 \cap B_2)]
」
也就等價於：
: 「所有的 B_1,\,B_2 \in \mathcal{F} ，對任意 x \in B_1 \cap B_2 都存在 C \in [\mathcal{F} \cap \mathcal{P}(B_1 \cap B_2)] 使得 x \in C 」
定義
由上面動機一節的定理，可以作如下的定義：

{{Math theorem
| name = 定義
| math_statement =

\mathfrak{B} \subseteq \mathcal{P}(X) 為集合 X 的一個子集族，若滿足：

*
\bigcup\mathfrak{B} = X
　（基的元素覆蓋X）

• 所有的 B_1,\,B_2 \in \mathcal{F} ，對任意 x \in B_1 \cap B_2 都存在 C \in [\mathcal{F} \cap \mathcal{P}(B_1 \cap B_2)] 使得 x \in C

則稱 \mathfrak{B} 為 X 的一個拓撲基（Topological Basis）。而：

: \tau
:=
\left\{
U \in \mathcal{P}(X) \,\bigg|\,
(\exists \mathcal{A})\left[
(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F})
\wedge
\left(\bigcup\mathcal{A} = U \right)
\right]
\right\}

則稱為由基 \mathfrak{B} 所生成的拓撲。
}}

範例
以所有實數線中的開區間為元素所構成的集合是拓撲基，因為：

• 任意實數 r \in \R 都包含在某個開區間裡，如 (r-1,\,r+1) 。故開區間全體「覆蓋」了整條實數線。
• 任何兩個開區間的交集要么也是開區間要么為空。
• 對任意開區間 (a,\,b) 內的實數 c \in (a,\,b) ，都有一個比 (a,\,b) 更小的開區間也包含 c ，如 \left(

\frac{a+c}{2},\,\frac{b+c}{2}
\right) 。

這些性質正好滿足拓撲基的定義。

更一般的來說，以度量空间的開球為元素所構成的集合是拓撲基，因為：

• 度量空間的任意點都可作為開球的球心，故開球全體「覆蓋」了整個度量空間。
• 取任二開球B_{r_a}(a)和B_{r_b}(b)，若x \in B_{r_a}(a) \cap B_{r_b}(b)，且 r = \min \{r_a - d(x,\,a),\,r_b - d(x,\,b)\}，則B_r(x) \subseteq B_{r_a}(a) \cap B_{r_b}(b)。

重要性質
{{math_theorem
| math_statement =

\mathcal{B} 是集合 X 的拓撲基，則 \mathcal{B} 生成的拓撲是包含 \mathcal{B} 的最粗拓撲
}}

{{math_theorem
| math_statement =

\mathcal{B}_1 和 \mathcal{B}_2 都是集合 X 的拓撲基，而 \tau_1 為 \mathcal{B}_1 生成的拓撲； \tau_2 為 \mathcal{B}_2 生成的拓撲，則以下兩敘述價

• \tau_1 \subseteq \tau_2
• (\forall B_1 \in \mathcal{B}_1)(\exists B_2 \in \mathcal{B}_2)(B_2 \subseteq B_1)

}}

• 如果 B1,B2,...,Bn 是拓撲 T1,T2,...,Tn 的基，則集合積 B1 × B2 × ... × Bn 是乘積拓撲 T1 × T2 × ... × Tn 的基。在無限乘積的情況下這仍適用，除了出現有限多個基元素之外全部都必須是整個空間之外。
• 設 B 是 X 的基并設 Y 是 X 的子空間。那么如果我們交 B 的每個元素於 Y，結果的集合的搜集是子空間 Y 的基。

{{math_theorem
| math_statement =

\mathfrak{B}是集合Y 的拓撲基（其生成的拓撲為\tau_Y）； (X,\,\tau_X)為一拓扑空间；f:X \to Y為一函数。若對任意B \in \mathfrak{B}_Y有f^{-1}(B) \in \tau_X，則f是\tau_X-\tau_Y连续。
}}

• X 的子集的搜集是 X 上的拓撲當且僅當它生成自身。
• B 是拓撲空間 X 的基，當且僅當 B 的包含 x 的元素的子搜集形成在 x 上的局部基，對于 X 的任何點 x。
• 給定拓撲的一個基，要證明網或序列的收斂，在包含假定極限的所有基中的集合中最終證明它就是充分的。

依據基定義的對象

• 序拓撲通常定義為類似開區間的集合的搜集所生成的拓撲。
• 度量拓撲通常定義為開球的搜集生成的拓撲。
• 第二可數空間是有可數基的拓撲。
• 離散拓撲有由所有單元素集合組成的基。

閉集基
閉集同樣擅長描述空間的拓撲。因為有對於拓撲空間的閉集的對偶的基的概念。給定一個拓撲空間 X， X 的閉集基是閉集的集合族 F 使得任何閉集 A 是 F 的元素的交集。

等價的說，閉集族形成了閉集基，如果對於每個閉集 A 和每個不在 A 中的點 x，存在一個 F 的元素包含 A 但不包含 x。

容易檢查 F 是 X 的閉集基，當且僅當 F 的成員的補集的集合族是 X 的開集基。

設 F 是 X 的閉集基。則

∩F = ∅

對於每個 F1 和 F2 在 F 中，并集 F1 ∪ F2 是 F 的某個子族的交集(就是說，對于任何不在 F1 或 F2 的 x，存在一個 F3 在 F 包含 F1 ∪ F2 并不包含 x)。

滿足這些條件的集合 X 的任何子集搜集形成 X 上的拓撲的閉集基。這個拓撲的閉集完全就是 F 的成員的交集。

在某些情況下，更習慣使用閉集基而非開集基。例如，一個空間是完全正規空間，當且僅當它的零集形成了閉集基。給定任何拓撲空間 X，零集形成在 X 上某個拓撲的閉集基。這個拓撲將是 X上比最初的要粗的最細的完全正規拓撲。在類似的脈絡下，在 An 上的 Zariski拓撲被定義為選取多項式函數的零集作為閉集基。

準基
若拓扑空間X是最小的拓扑使得X的子集的集B都是X的開集，則稱B為X的一個準基（subbasis/subbase）。另一等價的定義為，若B及其所有有限交集構成了拓扑空間X之基，則B為準基。

例子：

• 在實數線上，所有長度為1的開區間便是一個準基。

J.W. 亞歷山大證明了：若每個準基覆盖都有一個有限個元素的子覆蓋，則此空間是緊緻的。

注釋
參考文獻

• James Munkres (1975) Topology: a First Course. Prentice-Hall.
• Willard, Stephen (1970) General Topology. Addison-Wesley. Reprinted 2004, Dover Publications.